12.3.2角平分线的判定

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1、12.3角平分线的判定1、用尺规作角的平分线.角的平分线上的点到角的两边的距离相等2、角的平分线的性质:OCB1A2PDEPD⊥OA，PE⊥OB∵OC是∠AOB的平分线∴PD＝PE用数学语言表述：思考反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，PD＝PE．求证：点P在∠AOB的平分线上．思考P证明:经过点P作射线OC∵PD⊥OA，PE⊥OB∴∠PDO＝∠PEO＝90°在Rt△PDO和Rt△PEO中PO＝POPD=PE∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）∴∠POD＝∠POE∴点

2、P在∠AOB的平分线上已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，PD＝PE．求证：点P在∠AOB的平分线上．Pc逆定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE．∴OP平分∠AOB．用数学语言表示为：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.∵PD⊥OA,PE⊥OB,OP平分∠AOB∴PD＝PEp角的平分线上的点到角的两边的距离相等.角的平分线的性质:图形已知条件结论C12PDEOCB1A2PDEOP平分∠AOBPD⊥OA于DPE⊥OB于EOP平分∠AOBPD=PEPD=PEPD⊥OA于DPE⊥OB

3、于EPDEOBAPDEC角平分线的判定:角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？思考：问题1：如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为1︰20000）解决问题s解：作夹角的角平分线OC，截取OD=2.5cm,D即为所求。DCs例1：已知：如图,在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是

4、E，F，且BE＝CF。ABCEFD求证：AD是∠BAC的角平分线AD是∠BAC的平分线DE＝DF△BDE≌△CDF分析:已知：如图,在△ABC中，BD＝CD,∠1=∠2.ABCD求证：AD平分∠BAC【变式】EF12练习已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,求证：点F在∠A的平分线上.AAAAAAADNEBFMCA例2：已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．BACPNEDFM1、点P在∠A的平分线上吗？2、这说明三角形的三条角平分线有什么关系？思考：相交于一

5、点并且这一点到三边的距离相等.如图，△ABC的∠B的外角平分线BD与∠C的外角平分线CE相交于点P.求证：点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等．证明：过点P作PF⊥AB于F，PG⊥AC于G，PM⊥BC于MGFM∵点P在∠CBF的平分线上，∴PF＝PM同理PM＝PG∴PF＝PM=PG即点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等．P练习利用结论，解决问题练一练1、如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建?想一想在确定度假村的位置时,一定要画出三个角的平分线吗?

6、你是怎样思考的?你是如何证明的?拓展与延伸2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:()A.一处B.两处C.三处D.四处分析:由于没有限制在何处选址,故要求的地址共有四处。练习：2.已知：如图，BD平分∠ABC，BC>AB求证：∠A>∠C1.如图，在△ABC中，∠C=900，点D在BC上，DE⊥AB，且AE=EB，DE=DC，求∠B的度数。ABCDEABCDE如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥A

7、D于H，FM⊥BC于MGHM∵点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE，FM⊥BC∴FG＝FM又∵点F在∠CBD的平分线上，FH⊥AD，FM⊥BC∴FM＝FH∴FG＝FH∴点F在∠DAE的平分线上角的平分线上的点到角的两边的距离相等.角的平分线的性质:图形已知条件结论C12PDEOCB1A2PDEOP平分∠AOBPD⊥OA于DPE⊥OB于EOP平分∠AOBPD=PEPD=PEPD⊥OA于DPE⊥OB于E？PDEOBAPDEC