17-18版 热点探究训练4 立体几何中的高考热点问题

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1、热点探究训练(四)　立体几何中的高考热点问题1．如图7，四边形ABCD是菱形，四边形MADN是矩形，平面MADN⊥平面ABCD，E，F分别为MA，DC的中点，求证：图7(1)EF∥平面MNCB；(2)平面MAC⊥平面BDN.[证明]　(1)取NC的中点G，连接FG，MG.因为ME∥ND且ME＝ND，又因为F，G分别为DC，NC的中点，FG∥ND且FG＝ND，所以FG綊ME，所以四边形MEFG是平行四边形，所以EF∥MG.4分又MG平面MNCB，EF平面MNCB，所以EF∥平面MNCB.6分(2)连接BD，MC，因为平面MADN⊥平

2、面ABCD，四边形MADN是矩形，所以ND⊥AD，又因为平面MADN⊥平面ABCD，平面ABCD∩平面MADN＝AD，6ND平面MADN，所以ND⊥平面ABCD，所以ND⊥AC.8分因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.10分因为BD∩ND＝D，所以AC⊥平面BDN.又因为AC平面MAC，所以平面MAC⊥平面BDN.12分2．(2017·合肥质检)如图8，直角三角形ABC中，A＝60°，沿斜边AC上的高BD将△ABD折起到△PBD的位置，点E在线段CD上．图8(1)求证：BD⊥PE；(2)过点D作DM⊥BC交BC于点M，点N

3、为PB的中点，若PE∥平面DMN，求的值.【导学号：66482347】[解]　(1)证明：∵BD⊥PD，BD⊥CD且PD∩DC＝D，∴BD⊥平面PCD，而PE平面PCD，∴BD⊥PE.5分(2)由题意得BM＝BC，取BC的中点F，则PF∥MN，∴PF∥平面DMN，7分由条件PE∥平面DMN，PE∩PF＝P，∴平面PEF∥平面DMN，∴EF∥DM.10分6∴＝＝.12分3．(2017·西安调研)如图9①，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝，AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到图

4、②中△A1BE的位置，得到四棱锥A1BCDE.①　　　　　　　　　　②图9(1)证明：CD⊥平面A1OC；(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1BCDE的体积为36，求a的值.【导学号：66482348】[解]　(1)证明：在图①中，因为AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中点，∠BAD＝，所以BE⊥AC.2分则在图②中，BE⊥A1O，BE⊥OC，且A1O∩OC＝O，从而BE⊥平面A1OC.又CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC.5分(2)由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，且平面A1BE∩平面BCDE＝BE，又由(1)可得A1

5、O⊥BE，所以A1O⊥平面BCDE.8分即A1O是四棱锥A1BCDE的高．由图①知，A1O＝AB＝a，平行四边形BCDE的面积S＝BC·AB＝a2，从而四棱锥A1BCDE的体积为6V＝S·A1O＝·a2·a＝a3.由a3＝36，得a＝6.12分4．(2017·贵阳模拟)已知如图10，△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝1，∠ABC＝∠DBC＝120°.图10(1)在直线BC上求作一点O，使BC⊥平面AOD，写出作法并说明理由；(2)求三棱锥ABCD的体积．[解(1)作AO⊥BC，交CB延长线于点O，连接DO，则

6、BC⊥平面AOD.1分证明如下：∵AB＝DB，OB＝OB，∠ABO＝∠DBO，∴△AOB≌△DOB，3分则∠AOB＝∠DOB＝90°，即OD⊥BC.又∵AO∩OD＝O，∴BC⊥平面AOD.5分(2)∵△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，∴AO⊥平面BCD，即AO是三棱锥ABCD底面BCD上的高，7分在Rt△AOB中，AB＝1，∠ABO＝60°，∴AO＝ABsin60°＝.10分6又∵S△BCD＝BC·BD·sin∠CBD＝，∴V三棱锥ABCD＝·S△BCD·AO＝××＝.12分5.如图11，三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，PA

7、＝1，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°.图11(1)求三棱锥PABC的体积；(2)在线段PC上是否存在点M，使得AC⊥BM，若存在点M，求出的值；若不存在，请说明理由．[解]　(1)由题知AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，可得S△ABC＝·AB·AC·sin60°＝.2分由PA⊥平面ABC，可知PA是三棱锥PABC的高．又PA＝1，所以三棱锥PABC的体积V＝·S△ABC·PA＝.5分(2)证明：在平面ABC内，过点B作BN⊥AC，垂足为N.在平面PAC内，过点N作MN∥PA交PC于点M，连接BM.7分由PA⊥平面ABC知P

8、A⊥AC，所以MN⊥AC.由于BN∩MN＝N，故AC⊥平面MBN.又BM平面MBN，所以AC⊥BM.10分在Rt△BAN中，AN＝AB·cos∠BAC＝，6从而NC＝AC－AN＝.由MN∥PA，得＝＝.12分6.(2015·湖南高考