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《2015年高三数学（理）一轮复习讲义：7.7立体几何中的向量方法(一)--证明平行与垂直（人教A版）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、第7讲 立体几何中的向量方法(一)--证明平行与垂直[最新考纲]1．理解直线的方向向量及平面的法向量．2．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系．3．能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.知识梳理1．直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量，与平行的任意非零向量也是直线l的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为2．空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l
2、2的方向向量分别为n1，n2.l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔m·n＝0l⊥αn∥m⇔n＝λm平面α，β的法向量分别为n，m.α∥βn∥m⇔n＝λmα⊥βn⊥m⇔n·m＝0辨析感悟1．平行关系(1)直线的方向向量是唯一确定的．(×)(2)两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2,0,2)，则l1与l2的位置关系是平行．(√)2．垂直关系(3)已知＝(2,2,1)，＝(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量是n0＝±.(√)(4
3、)(2014·青岛质检改编)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线NO，AM的位置关系是异面垂直．(√)[感悟·提升]1．一是切莫混淆向量平行与向量垂直的坐标表示，二是理解直线平行与直线方向向量平行的差异，如(2)．否则易造成解题不严谨．2．利用向量知识证明空间位置关系，要注意立体几何中相关定理的活用，如证明直线a∥b，可证向量a＝λb，若用直线方向向量与平面法向量垂直判定线面平行，必需强调直线在平面外等.学生用书第125页考点一 利用空间向量证明平行问题【例1】如
4、图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.审题路线 若用向量证明线面平行，可转化为判定向量∥，或证明与平面A1BD的法向量垂直．证明 法一 如图所示，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求得M，N，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)．于是＝，＝(1,0,1)，＝(1,1,0)．设平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)．则n·＝0，且n·＝0，得取x＝1，得y＝－1，z＝－1.∴n＝(1，－1，－1
5、)．又·n＝·(1，－1，－1)＝0，∴⊥n，又MN⊄平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.法二 ＝－＝－＝(－)＝.∴∥，又∵MN与DA1不共线，∴MN∥DA1，又∵MN⊄平面A1BD，A1D⊂平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.规律方法(1)恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键．(2)证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量
6、运算．【训练1】(2013·浙江卷选编)如图，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.证明：PQ∥平面BCD.证明 如图所示，取BD的中点O，以O为原点，OD，OP所在射线为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O－xyz.由题意知A(0，，2)，B(0，－，0)，D(0，，0)．设点C的坐标为(x0，y0,0)，因为＝3，所以Q.因为点M为AD的中点，故M(0，，1)．又点P为BM的中点，故P，所以＝.又平面BCD的一个法向量为a＝(0,0,1)，故·a
7、＝0.又PQ⊄平面BCD，所以PQ∥平面BCD.考点二 利用空间向量证明垂直问题【例2】(2014·济南质检)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.(1)证明：AP⊥BC；(2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3.试证明平面AMC⊥平面BMC.证明 (1)如图所示，以O为坐标原点，以射线OP为z轴的正半轴建立空间直角坐标系O－xyz.则O(0,0,0)，A(0，－3,0)，B(4,2,0)，C(－4,2,0)，P(0,0,4)．于是＝(0,3,4)，
8、＝(－8,0,0)，∴·＝(0,3,4)·(－8,0,0)＝0，所以⊥，即AP⊥BC.(2)由(1)知
9、AP
