2020版高中数学第一章常用逻辑用语3.1全称量词与全称命题3.2存在量词与特称命题学案

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1、3．1　全称量词与全称命题3．2　存在量词与特称命题学习目标　1.了解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称命题和特称命题的概念.3.能判断全称命题和特称命题的真假并掌握其判断方法．知识点一　全称量词与全称命题全称量词“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”全称命题p含有全称量词的命题形式“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为任意x∈M，p(x)判断全称命题真假性的方法：对于全称命题“任意x∈M，p(x)”，要判断它为真，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；要判断它为假，只需在M中找到一个x，

2、使p(x)不成立，即“存在x∈M，p(x)不成立”．知识点二　存在量词与特称命题存在量词“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”特称命题含有存在量词的命题形式“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为存在x∈M，p(x)判断特称命题真假性的方法：要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x，使p(x)成立即可，否则，这一特称命题是假命题．思考　下列语句是命题吗？如果是命题，是不是特称命题？(1)x能被2和5整除；(2)至少有一个x0∈Z，x0能被2和5整除．答案　(1)不是命题；(2)是命题．是特称命题，因为有存

3、在量词“至少有一个”．1．“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词．(　×　)2．全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．(　√　)3．全称命题中一定含有全称量词，特称命题中一定含有存在量词．(　×　)题型一　全称命题与特称命题的辨析例1　判断下列语句是全称命题，还是特称命题．(1)凸多边形的外角和等于360°；(2)有的向量方向不定；(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；(4)矩形的对角线不相等；(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．考点　全称命题与特称命题的识别题点　全称命题与特称命题的识别解　(1

4、)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称命题．(2)含有存在量词“有的”，故是特称命题．(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题．(4)可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称命题．(5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题．反思感悟　判定命题是全称命题还是特称命题，主要方法是看命题中含有全称量词还是存在量词．要注意的是有些全称命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断．跟踪训练1　判断下列命题哪些是全称命题，哪些是特称命题．(1)对任意x∈R，x2>0；(2)有些无理数的平方也是无理数；(3)正四面体的各

5、面都是正三角形；(4)存在x＝1，使方程x2＋x－2＝0；(5)对任意x∈{x

6、x>－1},3x＋4>0成立；(6)存在a＝1且b＝2，使a＋b＝3成立．考点　全称命题与特称命题的识别题点　全称命题与特称命题的识别解　(1)(5)含全称量词“任意”，(3)虽不含有量词，但其本义是所有正四面体的各面都是正三角形．故(1)(3)(5)为全称命题；(2)(4)(6)为特称命题，分别含有存在量词“有些”、“存在”、“存在”．题型二　全称命题与特称命题的真假判断例2　判断下列命题的真假．(1)存在α，β，cos(α－β)＝cosα－cosβ；(2)存在一个函数

7、既是偶函数又是奇函数；(3)每一条线段的长度都能用正有理数表示；(4)存在一个实数x，使等式x2＋x＋8＝0成立．考点　全称命题与特称命题的真假判断题点　全称命题与特称命题的真假判断解　(1)真命题，例如α＝，β＝，符合题意．(2)真命题，函数f(x)＝0既是偶函数又是奇函数．(3)假命题，如：边长为1的正方形的对角线长为，它的长度就不是有理数．(4)假命题，因为该方程的判别式Δ＝－31<0，故无实数解．反思感悟　1.判断全称命题真假的方法(1)要判断一个全称命题为真，必须对在给定集合的每一个元素x，均使命题p(x)为真．(2)要判断一个全称命题为假

8、，即否定一个全称命题可以通过“举反例”来说明，在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为假．2．判断特称命题真假的方法(1)要判断一个特称命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题q(x)为真．(2)要判断一个特称命题为假，必须对在给定集合的每一个元素x，均使命题q(x)为假．所以说，全称命题与特称命题之间有可能转化，它们之间并不是对立的关系．跟踪训练2　判断下列命题是全称命题，还是特称命题，并判断其真假．(1)每一个平行四边形的对角线都互相平分；(2)存在一个x∈R，使＝0；(3)存在一组m，n的值，使m－n＝1；(4)至少有一个集合A

9、，满足A{1,2,3}．考点　全称命题与特称命题的真假判断题点　全称命题与特称命题的真假判断解　(1)是全