2020版高中数学第一章常用逻辑用语3.3全称命题与特称命题的否定学案北师大版

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1、3.3 全称命题与特称命题的否定学习目标 1.理解含有一个量词的命题的否定的意义.2.掌握对全称命题和特称命题否定的方法.知识点一 全称命题的否定要说明一个全称命题是错误的,只需找出一个反例就可以了.实际上是要说明这个全称命题的否定是正确的.全称命题的否定是特称命题.一般地,全称命题“所有的x∈A,使p(x)成立”的否定为特称命题“存在x∈A,使p(x)不成立”.知识点二 特称命题的否定要说明一个特称命题“存在一些对象满足某一性质”是错误的,就要说明所有的对象都不满足这一性质.实际上是要说明这个特称命题的否定是正确的

2、.特称命题的否定是全称命题.一般地,特称命题“存在x∈A,使p(x)成立”的否定为全称命题“所有的x∈A,使p(x)不成立”.1.若命题p是含一个量词的命题,则p与其否定真假性相反.( √ )2.从特称命题的否定看,是对“量词”和“p(x)”同时否定.( × )3.从全称命题的否定看,既要把全称量词转换为存在量词,又要把p(x)否定.( √ )题型一 全称命题的否定例1 写出下列命题的否定,并判断其真假.(1)任意n∈Z,则n∈Q;(2)等圆的面积相等,周长相等;(3)偶数的平方是正数.考点 全称命题的否定题点 全称

3、命题的否定解 (1)存在n∈Z,使n∉Q,这是假命题.(2)存在等圆,其面积不相等或周长不相等,这是假命题.(3)存在偶数的平方不是正数,这是真命题.反思感悟 1.写出全称命题的否定的关键是找出全称命题的全称量词和结论,把全称量词改为存在量词,结论变为否定的形式就得到命题的否定.2.有些全称命题省略了量词,在这种情况下,千万不要将否定简单的写成“是”或“不是”.跟踪训练1 写出下列全称命题的否定:(1)所有能被3整除的整数都是奇数;(2)每一个四边形的四个顶点共圆;(3)对任意x∈Z,x2的个位数字不等于3.考点 全

4、称命题的否定题点 全称命题的否定解 (1)存在一个能被3整除的整数不是奇数.(2)存在一个四边形,它的四个顶点不共圆.(3)存在x∈Z,x2的个位数字等于3.题型二 特称命题的否定例2 写出下列特称命题的否定:(1)存在x∈R,x2+2x+2≤0;(2)有的三角形是等边三角形;(3)有一个素数含三个正因数.考点 特称命题的否定题点 含存在量词的命题的否定解 (1)任意x∈R,x2+2x+2>0.(2)所有的三角形都不是等边三角形.(3)每一个素数都不含三个正因数.反思感悟 与全称命题的否定的写法类似,要写出特称命题的

5、否定,先确定它的存在量词,再确定结论,然后把存在量词改写为全称量词,对结论作出否定就得到特称命题的否定.跟踪训练2 写出下列特称命题的否定,并判断其真假:(1)有些实数的绝对值是正数;(2)某些平行四边形是菱形;(3)存在x,y∈Z,使得x+y=3.考点 特称命题的否定题点 含存在量词的命题的否定解 (1)命题的否定:“不存在一个实数,它的绝对值是正数”,也即“所有实数的绝对值都不是正数”.由于

6、-2

7、=2,因此命题的否定为假命题.(2)命题的否定:“没有一个平行四边形是菱形”,也即“每一个平行四边形都不是菱形”.由

8、于菱形是平行四边形,因此命题的否定是假命题.(3)命题的否定:“任意x,y∈Z,x+y≠3”.∵当x=0,y=3时,x+y=3,因此命题的否定是假命题.题型三 全称命题、特称命题否定的应用例3 已知命题p(x):sinx+cosx>m,q(x):x2+mx+1>0.如果对于任意x∈R,p(x)为假命题且q(x)为真命题,求实数m的取值范围.考点 全称命题与特称命题的否定题点 由全称命题与特称命题的真假求参数的范围解 ∵sinx+cosx=sin>m,若p(x)为真命题,则m<-.∵p(x)为假命题,∴m≥-,①由q(

9、x)为真命题,得Δ=m2-4<0,即-2

10、命题为假命题,通常转化为其否定命题——特称命题为真命题解决,同理,若特称命题为假命题,通常转化为其否定命题——全称命题为真命题解决.跟踪训练3 已知函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在区间[-1,1]上至少存在一个实数c,使得f(c)>0.求实数p的取值范围.考点 存在量词与特称命题的真假判断题点 存在性问题求参数的范围解 在

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