2020版高中数学第四章导数应用1.2函数的极值学案北师大版

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1、1．2　函数的极值学习目标　1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系.2.掌握函数极值的判定及求法．3．掌握函数在某一点取得极值的条件．知识点一　函数的极值点与极值的概念1.如图1，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都小于或等于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值．2．如图2，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都大于或等于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值．3．极大值与极小值统称为极值

2、，极大值点与极小值点统称为极值点．知识点二　函数极值的判定1．单调性判别：(1)如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是增加的，在区间(x0，b)上是减少的，则x0是极大值点，f(x0)是极大值．(2)如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是减少的，在区间(x0，b)上是增加的，则x0是极小值点，f(x0)是极小值．2．图表判别：(1)极大值的判定：x(a，x0)x0(x0，b)f′(x)＋0－y＝f(x)增加↗极大值减少↘(2)极小值的判定：x(a，x0)x0(x0，b)f′(x)－0＋y＝f(x)减少↘极小值增加↗知识点三　求函数y＝f(x)的极值的步骤1．求出导数f′

3、(x)．2．解方程f′(x)＝0.3．对于方程f′(x)＝0的每一个解x0，分析f′(x)在x0左、右两侧的符号(即f(x)的单调性)，确定极值点：(1)若f′(x)在x0两侧的符号为“左正右负”，则x0为极大值点；(2)若f′(x)在x0两侧的符号为“左负右正”，则x0为极小值点；(3)若f′(x)在x0两侧的符号相同，则x0不是极值点．1．导数值为0的点一定是函数的极值点．(　×　)2．在可导函数的极值点处，切线与x轴平行．(　×　)3．函数f(x)＝无极值．(　√　)4．定义在[a，b]上的连续函数f(x)若有极值f(x0)，则x0∈(a，b)．(　√　)5．函数的极值点

4、一定是其导函数的变号零点．(　√　)题型一　求函数的极值例1　求下列函数的极值．(1)f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1；(2)f(x)＝x2－2lnx.考点　函数的极值与导数的关系题点　不含参数的函数求极值问题解　(1)函数f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1的定义域为R，f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x＋2)(x－1)，解方程6(x＋2)(x－1)＝0，得x1＝－2，x2＝1.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－2)－2(－2,1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值21↘极小值－6↗所以当x＝－2时，f(x)取极大值21；

5、当x＝1时，f(x)取极小值－6.(2)函数f(x)＝x2－2lnx的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x－＝，解方程＝0，得x1＝1，x2＝－1(舍去)．当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)↘极小值1↗因此当x＝1时，f(x)有极小值1，无极大值．反思感悟　求可导函数f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义域，求导数f′(x)．(2)求f(x)的拐点，即求方程f′(x)＝0的根．(3)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．特别提醒：在判断f′(x)的符号时，借助图像

6、也可判断f′(x)各因式的符号，还可用特殊值法判断．跟踪训练1　已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．考点　函数的极值与导数的关系题点　不含参数的函数求极值问题解　(1)f′(x)＝ex(ax＋b)＋aex－2x－4＝ex(ax＋a＋b)－2x－4，f′(0)＝a＋b－4＝4，①又f(0)＝b＝4，②由①②可得a＝b＝4.(2)f(x)＝ex(4x＋4)－x2－4x，则f′(x)＝ex(4x＋8)－2x－4＝4ex(x＋2)－2(x＋2

7、)＝(x＋2)(4ex－2)．令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝－ln2，当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－2)－2(－2，－ln2)－ln2(－ln2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗f(x)在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上是增加的，在(－2，－ln2)上是减少的．当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．题型二　已知函数极值(或极值点)求参数例2　设x＝1与x＝2是函数f(x)＝alnx＋bx2