2020版高中数学第四章导数应用2.2最大值、最小值问题（第1课时）函数的最值与导数学案北师大版

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1、第1课时　函数的最值与导数学习目标　1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值．知识点一　函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值函数f(x)在闭区间[a，b]上的图像是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在端点处或极值点处取得．特别提醒：(1)闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的连续函数不一定有最值．若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．(2)函数的最大值和最小值是一个整体性概念．(3)函数y＝f(x)在[a，b]上连续，是

2、函数y＝f(x)在[a，b]上有最大值或最小值的充分不必要条件．知识点二　求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．知识点三　最值与极值的区别与联系(1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言．(2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有)．(3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最

3、值点可以是区间的端点．(4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点取得．如图是y＝f(x)在区间[a，b]上的函数图像，显然f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，f(x2)，f(x4)，f(x6)为极小值．最大值y＝M＝f(x3)＝f(b)分别在x＝x3及x＝b处取得，最小值y＝m＝f(x4)在x＝x4处取得．1．函数的最大值一定是函数的极大值．(　×　)2．开区间上的单调连续函数无最值．(　√　)3．函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．(　×　)题型一　

4、求函数的最值命题角度1　不含参数的函数求最值例1　求下列函数的最值：(1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]；(2)f(x)＝x＋sinx，x∈[0,2π]．考点　利用导数求函数的最值题点　不含参数的函数求最值解　(1)因为f(x)＝2x3－12x，所以f′(x)＝6x2－12＝6(x＋)(x－)，令f′(x)＝0，解得x＝－或x＝.因为f(－2)＝8，f(3)＝18，f()＝－8，f(－)＝8；所以当x＝时，f(x)取得最小值－8；当x＝3时，f(x)取得最大值18.(2)f′(x)＝＋cosx，令f′(

5、x)＝0，又x∈[0,2π]，解得x＝或x＝.因为f(0)＝0，f(2π)＝π，f＝＋，f＝－.所以当x＝0时，f(x)有最小值0；当x＝2π时，f(x)有最大值π.反思感悟　求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点(1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内．(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值．(3)比较极值与端点函数值大小，确定最值．跟踪训练1　求函数f(x)＝ex(3－x2)，x∈[2,5]的最值．考点　利用导数求函数的最值题点　不含参数的函数求最值解　∵f(x)＝3ex

6、－exx2，∴f′(x)＝3ex－(exx2＋2exx)＝－ex(x2＋2x－3)＝－ex(x＋3)(x－1)．∵在区间[2,5]上，f′(x)＝－ex(x＋3)(x－1)<0，∴函数f(x)在区间[2,5]上是减少的，∴当x＝2时，函数f(x)取得最大值f(2)＝－e2；当x＝5时，函数f(x)取得最小值f(5)＝－22e5.命题角度2　含参数的函数求最值例2　已知函数f(x)＝(x－k)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．考点　含参数的函数最值问题题点　含参数的函数求最

7、值解　(1)由f(x)＝(x－k)ex，得f′(x)＝(x－k＋1)ex，令f′(x)＝0，得x＝k－1.当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下表：x(－∞，k－1)k－1(k－1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)↘－ek－1↗所以，f(x)的递减区间是(－∞，k－1)；递增区间是(k－1，＋∞)．(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上是增加的．所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k，当0

8、,1]上是增加的，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1.当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上是减少的．所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.综上可知，当k≤1时，f(x)min＝－k；当1