第六章 空间解析几何要求与练习(含答案)

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1、第六章要求与练习一、学习要求1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示.2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积），两个向量垂直、平行的条件.掌握单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，以及用坐标表达式进行向量运算的方法.3、掌握平面方程和直线方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题.7、了解空间曲线在坐标平面上的投影，会求其方程.二、练习1、一向量起点为A（2，－2，5），终点为B（－1，6，7），求（1）分别在x轴、y轴上的投影，以及在z轴上的分向量；（2）的模；

2、（3）的方向余弦；（4）方向上的单位向量.解：（1），分别在x轴的投影为-3，在y轴上的投影为8，在z轴上的分向量；（2）；（3）的方向余弦为；（4）方向上的单位向量.2、设向量和夹角为60o，且，，求，.解：=，=7.3、已知向量，，求（1）平行于向量的单位向量；（2）向量的方向余弦.解（1）平行于向量的单位向量；（2），向量的方向余弦为：.4、一向量的终点为B（2，－1，7），该向量在三个坐标轴上的投影依次为4、－4和7.求该向量的起点A的坐标.解：=(4，-4，7)=(2，-1，7)-(x，y，z),所以(x

3、，y，z)=（－2，3，0）；5、已知，，求（1）垂直于和的单位向量；（2）向量在上的投影；6（3）以、为边的平行四边形的面积以及夹角余弦.解（1），；（2）；（3），；6、设，，，，求.解：，所以=；7、求参数，使得平面分别适合下列条件：（1）经过点；（2）与平面垂直；（3）与平面成的角；（4）与原点相距3个单位；解：7、（1）2；（2）1；（3）；（4）；8、已知平面平行于轴，且过点和，求平面的方程.解：设平面方程为：，将和代入求得该平面方程为：.9、已知平面过、、三点，求该平面方程.解：设平面方程为：，将、代

4、入平面方程得，，该平面方程为.10、求过点，且垂直于已知两平面与的平面方程.解：两平面的法向量为：，所示平面的法向量为：，则所示的平面方程为：.11、把直线化为对称式方程及参数方程.6解：两平面的法向量为：，则直线的方向向量为：，取直线上一点为：(1，1，1)，则直线对称式方程为：参数方程为:.解二：若取点为：(0，-3/2,5/2),则直线对称式方程为：，参数方程为:.12、求过点且与平面及都平行的直线方程.解：两平面的法向量为：，则直线的方向向量为：，则直线方程为：，或13、一直线过点且和轴垂直相交，求其方程.

5、解：过点的直线与轴垂直相交的交点为(0，-3，0)，直线的方向向量为：(2，0，4)，所以直线方程为：，即.14．将坐标面上的抛物线绕轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。解：由坐标面上的曲线绕一坐标轴旋转时生成的曲面方程的规律，所得的旋转曲面的方程为，即。15．画出下列各方程所表示的曲面：6a/2(1)o(1)；(2)；(3)。23(2)（3）16．指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？(1)；(2)；(3)；(4)。方程在平面解几中表示在空间解几中表示平行于轴的一直线与平面平行且过的平面

6、斜率为1，在轴截距为1的直线平行于轴，过(0,1,0)，(-1,0,1)的平面圆心在原点，半径为2的圆以过轴的直线为轴，半径为2的圆柱面双曲线母线平行于轴的双曲柱面17．说明下列旋转曲面是怎样形成的？(1)；(2)。6解：(1)由坐标面上的双曲线，绕轴旋转一周或是坐标面上的双曲线，绕轴旋转一周得到。(2)是坐标面上关于轴对称的一对相交直线，即和中之一条绕轴旋转一周；或是坐标上关于轴对称的一对相交直线，即和中之一条，绕轴旋转一周。18．指出下列方程组在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么图形？(1)；(2)解：(

7、1)在平面解析几何中表示两直线的交点；在空间解析几何中表示两平面的交线；(2)在平面解析几何中表示椭圆与其一切线的交点；在空间解析几何中表示椭圆柱面与其切平面的交线。19．分别求母线平行于轴及轴而且通过曲线的柱面方程。解：10．从方程组中消去得：，此方程即母线平行于轴且通过已知曲线的柱面方程；20．从方程组中消去得：，此方程即母线平行于轴且通过此曲线的柱面方程。20．求球面与平面的交线在面上的投影的方程。解：由，得，代入，消去得，即，这就是通过球面与平面的交线，并且母线平行于轴的柱面方程，将它与联系，得：6，即为所

8、求的投影方程。6