Bergman空间上拟齐次Toeplitz算子的乘积

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1、学位论文独创性声明本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。论文中除了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或其他机构已经发表或撰写过的研究成果。其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中作了明确的声明并表示了谢意。研究生签名：卿麦I学位论文使用授权声明日期：抄7．胪∥，本人完全了解浙江师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件和电子文档，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描等手段保存、汇编学位论文。同意浙江师范大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传播论文的全部或部分内容。保密的学位

2、论文在解密后遵守此协议。研究生签名：硼勘j勿／吻’聊签名：弋孚觚日期：加7小，“浙江师范大学学位论文诚信承诺书我承诺自觉遵守《浙江师范大学研究生学术道德规范管理条例》。我的学位论文中凡引用他人已经发表或未发表的成果、数据、观点等，均已明确注明并详细列出有关文献的名称、作者、年份、刊物名称和出版文献的出版机构、出版地和版次等内容。论文中未注明的内容为本人的研究成果。如有违反，本人接受处罚并承担一切责任。承诺人(研究生)：邓耋蔓指导教肌籀垓(一)、引言第一章绪论算子理论是数学领域的一个重要分支．随着物理学、机械学，信息控制论等学科的发展，在一些实际问题(如积分方程

3、问题)的研究中，人们开始提出各种算子，算子类，并开始对这些算子，算子类进行系统的研究．其中单侧移位算予(符号为z的Toeplitz算子)由于其重要地位一直深受数学家们的关注．在二十世纪六．七十年代的算子理论热潮中，Toeplitz算子作为最重要的特殊算子类之一成为了最活跃的研究对象，涌现了大量深刻且有意义的结果．在Toeplitz算子的诸多代数性质中，两个Tocplitz算子的乘积是否仍是Toeplitz算子的阁题，一直令数学家们很感兴趣．因为乘积阅题涉及到了Tocplitz算子类中乘法运算的封闭性，故对其进行研究具有重要意义．早在二十世纪六十年代，A．Bro

4、wn和P，R．Halmos在文献【2】中以单侧移位算子(符号为z的Toeplitz算子)为例，说明了Toeplitz算子类对乘法不一定是封闭的，所以人们很自然地考虑；(1)在怎样的条件下两个Toeplitz算子的乘积仍为Toeplitz算子?(2)乘法封闭的两个Toeplitz算子又有怎样的特点?(二)、研究背景记D为复平面C内的单位开圆盘，dA为D上规范的Lebcsguc测度．Bcrgman空间L：由L2(D，dA)中的解析函数组成．设P为L2(D，dA)的正交投影，若u∈L。(D，dA)，则从瑶到L：的符号为u的Toeplitz算子咒定义为兀(，)=PCu

5、／)，，∈L：．记Bergman核为‰∽)=再如=B．(I+J)∥尹，则J-u死(，)(。)=P(u，)(z)=／u(w)f(w)-ff玎(w)dA(w)f∈暖．(1)，D我们感兴趣的是更为一般的Toeplitz算子．若u为D上的任一有限的复测度，类似于等式(1)，定义符号为u的L：上的稠定线性算子兄：，一冗(，)(z)=／f(w)k；(u)孔(u)．JD本文研究的问题是tBergman空间上何时两个Toeplitz算子的乘积仍为Toeplitz算子?1964年Brown和Halmos[z

6、完美地解决了Hardy空间上的类似问题．我们知道f∈LooOD)称为解

7、析的当且仅当，的负项Fourier系数全为零，记作f∈Ho。．文献[2]中就证明了当f．g∈L”(aD)，rfB=Th的充分必分条件为g∈H。或者，∈日o。，并且在这两种情况下都有h=fg．但是，在Bergman空间上Toep

8、itz算子乘积运算封闭的问题相当复杂．Ahern和0“a％oui护l考虑了具有有界调和符号的Toeplitz算子的Brown-Halmos类似的结果，证明了在f，g，h为有界调和函数且厶^=(1一⋯2)2Ah为有界的条件下乃L=死当且仅当g∈H。或，∈H。．文献【4】中Ahern在，'g为单位圆盘上的有界调和函数且满足f=fl_+f2和

9、g=ga+彘(^，矗，gl，虫为有界解析函数)的条件下，证明了乃毛=％的充分必要条件是存在解析多项式P，q(defl(朋)≤3)使得1"i=Po九，92=qo札，其中札(z)=．a一-。z；[Z∈D)为D上的自同构．若妒∈L1(D，dA)且满足妒(。)=妒(Izl)(Vz∈D)，则称妒为径向函数．函数，称为度为k的拟齐次函数，如果，能表示为f(re坩)=eike妒(r)，其中妒为径向函数．由于存在分解L2(D，dA)=oeikO乳(其中跄为D上平方可积径向函数组成的空间)151，LouhichiandZakariasy16】重点研究了以拟齐次函数为符号2的To

10、eplitz算子的诸多特性．文献【1】