2020版高中数学第二章圆锥曲线与方程3.2双曲线的简单性质学案北师大版

《2020版高中数学第二章圆锥曲线与方程3.2双曲线的简单性质学案北师大版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、3．2　双曲线的简单性质学习目标　1.了解双曲线的简单性质(对称性、范围、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.掌握标准方程中a，b，c，e间的关系．知识点一　双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Ry≥a或y≤－a，x∈R对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点坐标A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)实轴和虚轴线段A1A2叫作双曲线的实轴；线段B1B2叫作双曲线的虚轴渐近线y＝±xy＝±x离心率e＝，e∈(1，＋∞)知识点二　双曲线的离

2、心率双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率，记为e＝，其取值范围是(1，＋∞)．e越大，双曲线的张口越大．知识点三　双曲线的相关概念1．双曲线的对称中心叫作双曲线的中心．2．实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，它的渐近线方程是y＝±x.1．双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点．(　×　)2．双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔．(　√　)3．双曲线x2－y2＝m(m≠0)的离心率为，渐近线方程为y＝±x.(　√　)4．平行于渐近线的直线与双曲线相交，且只有一个交点．(　√　)5．等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率e＝.(　√　)题型一　由双曲线方程研究其简单性

3、质例1　求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程．考点　双曲线的简单性质题点　由双曲线方程求a，b，c，渐近线解　将9y2－4x2＝－36化为标准方程为－＝1，即－＝1，所以a＝3，b＝2，c＝.因此顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3,0)，焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x＝±x.引申探究求双曲线nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．解　把方程nx2－my2＝mn(m>0，n>0)化为标准方程为－＝1(

4、m>0，n>0)，由此可知，实半轴长a＝，虚半轴长b＝，c＝，焦点坐标为(，0)，(－，0)，离心率e＝＝＝，顶点坐标为(－，0)，(，0)，所以渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.反思感悟　由双曲线的方程研究简单性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键．(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值．(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的简单性质．跟踪训练1　求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．考点　双曲线的简单性质题点　由双曲线方程求a，b，c，渐近线解　把方程9y2－16x2＝144化为标准方程为－

5、＝1.由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3；c＝＝＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)；离心率e＝＝；渐近线方程为y＝±x.题型二　由双曲线的简单性质求标准方程例2　求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)以直线2x±3y＝0为渐近线，过点(1,2)；(2)与双曲线－＝1具有相同的渐近线，且过点M(3，－2)；(3)过点(2,0)，与双曲线－＝1离心率相等；(4)与椭圆＋＝1有公共焦点，离心率为.考点　双曲线性质的应用题点　由双曲线的简单性质求方程解　(1)方法一　由题意可设所求双曲线方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)，将点(1,2)的坐标代入方程解得λ＝－32.因此所求双曲

6、线的标准方程为－＝1.方法二　由题意可设所求双曲线方程为－＝1(mn>0)．由题意，得解得因此所求双曲线的标准方程为－＝1.(2)设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．由点M(3，－2)在双曲线上，得－＝λ，λ＝－2.故所求双曲线的标准方程为－＝1.(3)当所求双曲线的焦点在x轴上时，可设其方程为－＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝，故所求双曲线的标准方程为－y2＝1；当所求双曲线的焦点在y轴上时，可设其方程为－＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝－<0(舍去)．综上可知，所求双曲线的标准方程为－y2＝1.(4)方法一　由椭圆方程可得焦点坐标为(－3,0)

7、，(3,0)，即c＝3且焦点在x轴上．设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．因为e＝＝，所以a＝2，则b2＝c2－a2＝5，故所求双曲线的标准方程为－＝1.方法二　因为椭圆焦点在x轴上，所以可设双曲线的标准方程为－＝1(16<λ<25)．因为e＝，所以＝－1，解得λ＝21.故所求双曲线的标准方程为－＝1.反思感悟　(1)根据双曲线的某些简单性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式．(2)巧设双