2020版高中数学第四章导数应用1.1导数与函数的单调性学案北师大版

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1、1．1　导数与函数的单调性学习目标　1.了解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断(证明)函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间．知识点一　导函数的符号与函数的单调性的关系(1)在区间(a，b)内函数导数的符号与函数单调性有如下关系：导函数的正、负函数的单调性f′(x)>0增加的f′(x)<0减少的f′(x)＝0常函数(2)在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：函数的单调性导函数的正、负增加的f′(x)≥0减少的f′(x)≤0常函数f′(x)＝0特别提醒：(1)若在某区间上有有

2、限个点使f′(x)＝0，在其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)仍是增加的(减少的情形完全类似)．(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.知识点二　函数的变化快慢与导函数的关系一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图像就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图像就“平缓”一些．1．函数的导数越小，函数值的变化越慢，函数的图像就越“平缓”．(　×　)2．函数在某一点处的导数越大，函

3、数在该点处的切线越“陡峭”．(　×　)3．函数在某个区间上变化的越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．(　√　)4．若f(x)在区间(a，b)上可导，则“f′(x)>0”是“f(x)在(a，b)上是增加的”的充要条件．(　×　)5．若f(x)的图像在[a，b]上是一条连续曲线，且f(x)在(a，b)上f′(x)<0，则f(x)在[a，b]上是减少的．(　√　)题型一　原函数和导函数图像之间的关系例1　已知函数y＝f(x)的图像如图所示，则函数y＝f′(x)的图像可能是图中的(　　)考点　函数变化的快慢与导数的关系题点　

4、根据原函数的图像确定导函数的图像答案　C解析　由函数y＝f(x)的图像的增减变化趋势判断函数y＝f′(x)的正、负情况如下表：x(－1，b)(b，a)(a,1)f(x)↘↗↘f′(x)－＋－由表可知函数y＝f′(x)的图像，当x∈(－1，b)时，函数图像在x轴下方；当x∈(b，a)时，函数图像在x轴上方；当x∈(a,1)时，函数图像在x轴下方．故选C.反思感悟　1.对于原函数图像，要看其在哪个区间内是增加的，则在此区间内导数值大于零．在哪个区间内是减少的，则在此区间内导数值小于零．根据导数值的正负可判定导函数图像．

5、2．对于导函数的图像可确定原函数的递增(减)区间及增减快慢．跟踪训练1　函数y＝f(x)在定义域内可导，其图像如图所示，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集是(　　)A.∪[2,3)B.∪C.∪[1,2]D.∪∪考点　函数变化的快慢与导数的关系题点　根据原函数图像确定导函数图像答案　A解析　求f′(x)≤0的解集，即求函数f(x)在上的递减区间．由题干图像可知y＝f(x)的递减区间为，[2,3)．题型二　利用导数求函数的单调区间例2　求下列函数的单调区间．(1)f(x)＝2x3＋3x2－3

6、6x＋1；(2)f(x)＝3x2－2lnx.考点　利用导数研究函数的单调性题点　不含参数求单调区间解　(1)f′(x)＝6x2＋6x－36.由f′(x)＞0，得6x2＋6x－36>0，解得x<－3或x>2；由f′(x)＜0，解得－30，即2·>0，解得x>.令f′(x)<0，即2·<0，解得0

7、具体步骤(1)优先确定f(x)的定义域．(2)计算导函数f′(x)．(3)解f′(x)>0和f′(x)<0.(4)定义域内满足f′(x)>0的区间为递增区间，定义域内满足f′(x)<0的区间为递减区间．跟踪训练2　求函数f(x)＝的单调区间．考点　利用导数研究函数的单调性题点　不含参数求单调区间解　函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．f′(x)＝＝.因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以ex>0，(x－2)2>0.由f′(x)>0，得x>3，所以函数f(x)的递增区间为(3，＋∞)；由f′(x)<0，得x

8、<3.又函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函数f(x)的递减区间为(－∞，2)和(2,3)．题型三　含参数函数的单调性例3　若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)上是增加的，则k的取值范围是________．考点　利用函数单调性求变量题点　已知函数单调性求参数答案　[1，＋∞)解析　由于f