Devaney混沌的等价刻画与赋范空间上连续自映射的回归点研究

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1、电子科技大学硕士学位论文Devaney混沌的等价刻画与赋范空间上连续自映射的回归点研究姓名:刘洪刚申请学位级别:硕士专业:应用数学指导教师:朱培勇20090501摘要作为一门新科学的混沌学(Chaology),一般认为始于李天岩和约克(Yorke)1975年发表于《美国数学月刊》的论文“周期三蕴含混沌”,因为该文中“混沌"(Chaos)首次被作为科学名词使用。Li.Yorke混沌定义是高度抽象的数学定义,缺乏直观性。因此,1986年Devaney给出了一个直观性更强的Devaney混沌定义。由于混沌现象在自然界无所不有、无所不在,近三十年来混沌学研究得到了巨大发展并且其研究成果在自然科学和

2、社会科学的许多领域都得到广泛应用。混沌的数学基础至今还很薄弱,寻找各种混沌的等价刻画以及各种混沌之间的关系是当前混沌数学基础研究的重点课题。本文主要成果之一是:就此问题进行研究。首先,将Devaney混沌定义从度量空间推广到一般拓扑空间。在一般拓扑空间中分别得到了Devaney混沌的两组等价刻画。作为这两组等价刻画的推论:如果实数区间,或紧度量空间Z上的连续自映射厂对于任意两个非空开子集都共享同一周期轨,则厂是Li.Yorke混沌映射。两个例子部分地说明本文所得结果在应用中的有效性。本文的另一研究成果是对赋范空间中回归点理论进行研究,得到了如下三个结果:(1)如果厂是序列紧赋范空间X上的连

3、续双射,x是厂的任一回归点,则对于任意整数n≥0都存在厂的回归点矗∈X使得f以(h)=工:(2)序列紧赋范空间上连续自映射的回归点集是厂的强不变子集;(3)如果厂是局部连通赋范空间X上的连续自映射,则厂的每一个回归点或是类周期点或是类周期点的聚点。本文的成果是对混沌数学理论以及拓扑动力系统中回归点理论的进一步丰富和发展,在一定程度上展示了拓扑学在上述理论研究中的良好应用前景。关键词:混沌,拓扑传递,回归点,类周期点,Devaney混沌ABSTRACTAsanewscience,Chaologyisthoughtusuallybeginsinthepaper:‘‘Periodthreeimp

4、lieschaos”byLiTianyanandJamesA.Yorkepublishedin《Amer.Math.Monthly))in1975,because“chaos”isfirstusedasthescientificterminologyinthisarticle.SincethedefinitionofLi—Yorkechaosishighlya:bstraCtandlacksintuitive,Therefore,DevaneyhasgivenallintuitivestrongerDevaneydefinitionin1986.Inrecent30yearsagreata

5、dvancementhasbeenobtainedinresearchofChaosTheoryandanumberofresearchresultsisappliedinmanyfieldofNaturalSciencesandSocialSciences.Chaosmathematicsfoundationisveryweakuntilnow.So,itiscurrentlyahottopitsinchaoticmathematicsbasicresearchtoseeksforequivalentcharacterizationsbetweenavariOUSkindofchaoti

6、cdefinitionsandtherelationsbetweenthem.Oneofthisarticleaimistodiscussthisquestion.First,ThedefinitionofDevaneychaosisgeneralizedfromametricspacetoatopologyspace.TwogroupsofequivalentcharacterizationsofDevaneychaosonatopologyspaceareproved.Asthecorollaryoftheaboveresults,thefollowingisobtained:acon

7、tinuousselfmappingf:X专XischaoticinthesenseofLi··Yorkeifanytwonon--emptyopensubsetsshareaperiodicorbitoff,wherexisanintervaloracompactmetricspace.Finally,twoexamplesarerevealedtoillustratethevalidityintheapplicati

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