Domain上的区间偏序集和函数空间

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1、湖南大学学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。作者签名：日期：年月日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论

2、文。本学位论文属于1、保密¤，在年解密后试用本授权书。2、不保密¤。(请在以上相应方框内打“X”)作者签名：日期：年月日导师签名：日期：年月日I硕士学位论文第1章绪论1.1研究背景格是随着经典逻辑的代数与泛代数的发展而引进的一个代数系统。近代格论大约形成于20世纪30年代，G.Birkho®的专著《LatticeTheory》（第一版）是这个时期的格论及其对于数理逻辑、泛代数、一般拓扑学、泛函分析和概率论等数学分支中应用的系统总结。近年来，偏序集和格的理论在组合数学、模糊数学及理论计算机科学，甚至社会科学中都得到了广泛的应用，同时也大大地推动了该学科自身的发展，使之成为数学和理论计算机科学中的

3、重要研究对象。完备格和完全分配格[1»11]一直是经典格论的研究对象。特别是在70年代末期，由于J.D.Lawson和R.E.Ho®mann分别独立地确立了完全分配格与连续偏序集之间的对应关系，及L¡Fuzzy拓扑学的创立与发展，使得这个经典论题重新受到重视，并获得极大发展。1972年，著名逻辑学家D.S.Scott[12]在研究计算机问题时首次提出了连续格概念。他和Y.L.Ershov在程序语言语义学[13]和递归函数理论方面的工作被公认为是连续格理论以及一般Domain理论(相关文献、书籍参见[14»17])的奠基性工作。由于计算机应用的推动，从80年代开始，连续偏序集（即连续Domain

4、）[31;32]开始逐渐成为Domain理论的主要研究对象。连续偏序集和连续格理论处于数学、逻辑和理论计算机科学等学科的交汇处，是当前极为活跃的研究领域。仅仅从数学的角度看，连续偏序集和连续格就可以成为多学科的研究对象。例如，从序结构的观点看，连续dcpo（连续格）可以看作是代数dcpo（代数格）的自然推广[18]；从结构的观点看，连续dcpo是一种有限可计算逻辑的理论模型[19]；从拓扑[33»35]结构的观点看，连续格是T空间范畴中的内射对象类[15;18]；从拓扑代数观点看，0连续格是紧Lawson交半格[15;18;20]；从范畴观点看，Domain范畴提供了新的笛卡儿闭范畴模型[17

5、;21»23]。在研究Domain范畴的时候，已经得到了丰富的成果，在Domain理论的专著《Mathematicaltheoryofdomains》[24]中详细介绍了关于Scott-domain的一系列研究成果，其中包括Scott-domain的表示定理，范畴意义上的Scott-domain方程，万有Scott-domain与递归论，¸¡演算理论之间的联系。而A.Jung[25]在寻找代数dcpo最大的笛卡儿闭范畴时发现了比Scott-domain更为普遍的L-domain。1988年，A.Jung又在[17]中首先提出了FS-domain的概念，证明了以FS-domain为对象。Scot

6、t连续映射为态射的范畴是Domain范畴的极大笛卡儿闭范畴。而除了格，连续格，L-domain，FS-domain等等背景外，文中还有一个非常重要的概念，就是区间构造。R.Moore为了允许在数值计算中存在误差，以便{1{Domain上的区间偏序集和函数空间解决有关实数的问题，从而提出了区间数学的概念[26]，D.Scott首先考虑了直线的有限闭子区间，以逆包含关系为序[27]。R.C.Bedregal给出了区间构造的定义，并证明了双代数domain，双Scott-domain范畴在区间构造下是封闭的[28;29]。由于M.Smyth,Gierz.G等人的工作[14;30]，L-domain和

7、FS-domain被认为是Domain理论中两个重要而有趣的结构，引起了广泛的重视。本文在这些基础上得到了格，（连续/代数）L-domain[36]，双L-domain,双FS-domain，双BF-domain等在区间构造下也是封闭的。Domain理论的目的是为程序设计语言提供数学语义模型，信息状态域的指称称为domain，而程序的指称则是domain间的映射。计算数学上研究的是从信息状态域D到