Einstein流形上一类特殊(α，β)-度量的曲率性质和推广Douglas-Weyl空间

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1、独创性声明学位论文题目：垦i垒墨!曼i垒速理上二娄挂磕(q∥2二度量鲍酋奎性厦狸推亡鲍旦Q坚g!垒墨二堕曼Y!空闽本人提交的学位论文是在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。论文中引用他人已经发表或出版过的研究成果，文中已加了特别标注。对本研究及学位论文撰写曾做出贡献的老师、朋友、同仁在文中作了明确说明并表示衷心感谢。学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生院(筹)可以将学位论文的全部

2、或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。(保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：口不保密，口保密期限至年月止)。学位论文作者签名：导师签名：王位签字日期：小lb年6月土日西南大学硕士学位论文第1章研究评述第1章研究评述1．1芬斯勒几何发展历史的简单回顾芬斯勒几何作为现代微分几何的一个重要分支，近年来得到了快速而长足的发展．随着几何学科的发展以及几何理论知识在实际问题中的应用，芬斯勒几何越来越受到几何学家的关注．芬斯勒几何的名称来源于1918年Finsler的博士论文[1】．

3、更确切地说，黎曼在1854年就已经提出了相关的思想，因此称其为黎曼一芬斯勒几何也许才更加恰当．而对Finsler几何有着卓越贡献的数学家L．Berward将联络引入到了Finsler几何并将Riemann曲率推广至lJFinsler几何中，为后来Finsler几何的研究指引了方向，从而也是使得Finsler几何的发展有了良好开端的决定性条件．四十年代，作为Finsler几何中的一个里程碑，几何大师陈省身先生在Berward联络和Cartan联络的基础上引入了即满足无挠条件又满足与度量几乎相容的Chern联络，自此以后国内外大批

4、几何学家投入至lJFinsler几何的研究中，并取得了丰硕的理论成果，加速了Finsler几何研究与发展．Finsler几何虽然作为一块年轻的研究领域但从八十年代起它已在相对论、物理学、生物学以及心理学等领域得到广泛的应用，突显出Finsler几何的独特魅力陋6】．在较长时间内许多几何学家曾认为Finsler几何仅仅是Riemann几何的推广，所以很大程度上的研究成果只是将Riemann几何中的结果推广至UFinsler几何中，从而使得人们对Finsler空间的结构及其”色彩”等问题的研究不够深入．在陈省身先生，美籍华裔数学家

5、沈忠民等几何学家的带领下，克服了Finsler几何以张量作为研究工具的局限，引入分析的方法并注重结合几何背景，同时运用计算机做大量的符号运算，从而将Finsler几何带入了繁荣时期开辟了Finsler几何的新时代．1．2研究背景在生物学、物理学等广大领域中有着重要背景的(a，p)一度量一直以来是Finsler几何学家研究的热点．在大规模运用计算机进行符号运算以前以日本人T．Yamada等为代表的几何学家主要采用张量分析的方法研究(Q，卢)．度量，由于张量计算的复杂性，主要得到一些关于Randers度量、Matsumoto等比较

6、简单度量的一些性质，然而几何的本质却被大量的计算所掩盖，所以几何学家对这方面的研究进展相对缓慢[7-101．九十年代后，电子科学技术的快速发展为Finsler几何的研究带来了福音，特别是在沈忠民带领下将新的运算模式和计算机软件Maple程序应用于纷繁复杂的Finsler度量的有关计算中，为(Q，p)一度量的研究注入了新的活力【11—14】．多年来几何学家也对相对复杂的(Q，p)．度量及一般的(Q，p)．度量1西南大学硕士学位论文1．2研究背景的曲率性质等方面进行研究[15-18]．Ricci曲率作为对研究几何空间结构的重要几何

7、量之一，Riemann几何中将其在截面曲率的基础上加以定义．并且当Ricci曲率与Riemann度量之间在数量上满足一定关系时，Riemann流形将会成为一种特殊的结构一Einstein流形．根据Finsler几何的发展历程以及与Riemann几何的相互关系，使得Finsler几何中的旗曲率可以看作Riemann几何中截面曲率的推广，然而Ricci曲率作为在旗曲率基础上定义的黎曼几何量之一，所以Einstein流形的定义在Finsler几何中也应运而生．在Riemann几何中，毋庸置疑，如果一个Riemann流形M是Einst

8、ein流形当且仅当M的Ricci曲率是常数．为了研究在Finsler流形上当Ricci曲率以特殊形式出现时，其空间结构的特殊性，由此我们将其结论推广至lJFinsler流形上．在2003年C．Robles证明了Randers度量F=Q+p是Einstein度量，即Ric=(n