2020版高考数学复习专题9平面解析几何第74练椭圆的定义与标准方程理

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1、第74练椭圆的定义与标准方程[基础保分练]1．若方程＋＝1表示椭圆，则实数m的取值范围为________________．2．已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是________．3．以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为________．4．(2019·镇江模拟)已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且F1F2＝2，若PF1与PF2的等差中项为F1F2，则椭圆C的标准方程为____________________．5．设P是椭圆＋＝1上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差的绝对值为2，则△PF1F2是________三角形．6

2、．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是________．7．已知椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点M在该椭圆上，且·＝0，则点M到y轴的距离为________．8．设P是椭圆＋＝1上一点，M，N分别是两圆：(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的点，则PM＋PN的最小值、最大值分别为________．9．(2018·泰州模拟)若一个椭圆的长轴长是短轴长的3倍，焦距为8，则这个椭圆的标准方程为______________．10．已知椭圆C：＋y2＝1的两焦点为F1，F2，点P(x0，y0)满足0<＋y<1，则PF1

3、＋PF2的取值范围是________．[能力提升练]1．过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________________．2．已知P为椭圆＋y2＝1上任意一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，则PF1·PF2的最大值为________．3．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则椭圆E的方程为________________．4．(2018·南通模拟)椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上任意一点，则

4、

5、·

6、

7、的取值范围是________．5．设椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F

8、2，点P在椭圆上，若△PF1F2是直角三角形，则△PF1F2的面积为________．6．若椭圆＋＝1的焦点在x轴上，过点作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程为______________________．答案精析基础保分练1．(－4,6)∪(6,16)　2.8F1O＝c，故由椭圆的定义，知P点的轨迹是椭圆．7.解析　由题意，得F1(－，0)，F2(，0)．设M(x，y)

9、，则·＝(－－x，－y)·(－x，－y)＝0，整理得x2＋y2＝3.①又因为点M在椭圆上，故＋y2＝1，即y2＝1－.②将②代入①，得x2＝2，解得x＝±.故点M到y轴的距离为.8．8,12解析　如图所示，因为两个圆心恰好是椭圆的焦点，由椭圆的定义可知PF1＋PF2＝10，所以PM＋PN的最小值为PF1＋PF2－2＝8，最大值为PF1＋PF2＋2＝12.9.＋＝1或＋＝1解析　若椭圆的焦点在x轴上，可设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，且2c＝8，即c＝4.又2a＝6b，∴a＝3b，结合a2＝b2＋c2，得9b2＝b2＋16，∴b2＝2，则a2＝9b2＝18.∴椭圆的标准方程为＋＝1.若椭圆的焦

10、点在y轴上，同理可得＋＝1.故答案为＋＝1或＋＝1.10．[2,2)解析　由点P(x0，y0)满足0<＋y<1，可知P(x0，y0)一定在椭圆内(不包括原点)，因为a＝，b＝1，所以由椭圆的定义可知PF1＋PF2<2a＝2，当P(x0，y0)与F1或F2重合时，PF1＋PF2＝2，又PF1＋PF2≥F1F2＝2，故PF1＋PF2的取值范围是[2,2)．能力提升练1.＋＝1　2.43.＋＝1解析　因为直线AB过点F(3,0)和点(1，－1)，所以直线AB的方程为y＝(x－3)，代入椭圆方程＋＝1，消去y，得x2－a2x＋a2－a2b2＝0，所以AB中点的横坐标为＝1，即a2＝2b2，又a2＝b2

11、＋c2，c2＝9，所以b2＝9，a2＝18，即椭圆E的方程为＋＝1.4．[3,4]解析　由椭圆定义，知

12、

13、＋

14、

15、＝4，且椭圆＋＝1的长轴长为4，焦距为2，所以1≤

16、

17、≤3.令

18、

19、＝t，则

20、

21、＝4－t.令f(t)＝

22、

23、·

24、

25、＝t(4－t)＝－t2＋4t，t∈[1,3]，由二次函数的性质可知，函数f(t)在t＝2处取得最大值，即f(t)max＝f(2)＝－22＋4×2＝4，函数f(t)在t＝1或t＝3