有限元方法理论及其应用考试题目及要求204

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1、实用文档南京理工大学机械工程学院研究生研究型课程考试题目及要求课程名称：有限元方法理论及应用考试形式：□专题研究报告□论文□大作业□√综合考试考试题目：“有限元方法理论及应用”理论研讨及上机实验试题及要求：一、课程论文：弹性力学有限元位移法原理（30分）撰写一篇论文，对有限元位移法的原理作一般性概括和论述。要求论文论及但不限于下列内容：1）弹性力学有限元位移法的基本思想和数学、力学基础；2）有限元法求解的原理和过程，推导计算列式；对基本概念和矩阵符号进行解释和讨论；3）等参单元的概念、原理和应用。标准文案实用文档标准

2、文案实用文档标准文案实用文档标准文案实用文档标准文案实用文档二、分析与计算（40分）1、图示两个结构和单元相似，单元方位相同的平面应力有限元模型，两模型的单元厚度和材料相同。两个模型右端单元边上受均匀剪切面力。对于下列2种情况，试根据有限元法和力学有关知识来分析论证两个模型求解后对应节点（节点1）的位移值和对应单元的应力值之间的关系：1）两个模型面力的合力相等；2）两个模型面力值相等。（10分）(4)对上图（a）,（b）求解刚度矩阵：单元编号ijm(1)124(2)314(3)346(4)536对于（a）(b)刚度矩

3、阵相等标准文案实用文档结构总的刚度矩阵的组集：(5)外部载荷与约束力：对于第一种情况；（a）(b)对于第二钟情况：(a)(b)（6）位移矩阵：有约束条件可知：（7）根据最小势能原理：进行求解（8）位移和应力值的关系：对于第一种情况：节点1的位移：单元（1）的应力值：标准文案实用文档对于第二种情况：节点1的位移：单元（1）的应力值：2、证明3节点三角形单元满足协调性条件（相邻单元之间位移连续）。（10分）证明：假设任意两个相邻的三角形单元如图所示：这里采用x,y的一次多项式作为位移插值函数：将广义坐标换为单元节点自由度

4、的二维插值：标准文案实用文档（1）相邻之间单元连续，先说明插值函数连续；有方程可知道u,v函数在平面内是连续的。（2）单元1(i-j-m)和单元2（i-j-n）在i-j边界处连续；（a）先证明u函数在单元间连续把，代入上面的方程：有上式可以看出在边界处的位移变化与m,n点的坐标值无关，只是与i,j的坐标值和位移值有关，所以单元1与单元2在i-j边界处u值相等(b)同理可证得：单元1与单元2在i-j边界处v值相等(3)结论：由于插值函数连续，单元1与单元2在边界处u,v的值相等，所以三节点三角形单元相邻单元之间位移连续

5、。2、对4节点四边形平面等参元，试验证等参变换能把平面上的正方形母单元映射成为平面上4节点任意四边形单元。（10分）标准文案实用文档证明：如上图所示，坐标系中的正方形单元1-2-3-4（图b）通过映射关系：可以得到坐标系中的矩形单元i-j-k-l(图a),并保证四个顶点间的映射关系为：1—i2—j3—k4—l更一般地，如果假设坐标系xoy中的坐标x,y与原坐标系中的映射关系为：则可以实现坐标系中的正方形单元1-2-3-4（图b）向坐标系xoy中任意直边四边形i-j-k-l(图c)的映射。若进一步假定在两个不同坐标系中

6、，四边形顶点的对应关系为：1—i2—j3—k4—l同时也可以将上式改写成插值函数形式：上式中中的就是坐标系中的正方形单元顶点1，2，3，4上的拉格朗日插值基函数：所以平面上的正方形母单元经过等参变换能映射成为平面上4节点任意四边形单元标准文案实用文档4、图示一个一维直杆问题，杆的截面积为A,弹性模量为E。杆受线性变化的轴向线分布力。试构造一种三次杆单元求解该问题，单元有4个节点，节点间隔均匀，形函数可以由形函数性质直接构造或采用拉格朗日插值多项式。整个杆用1个单元离散化。解出节点位移后，由单元有关方程导出单元上位移和

7、应力的函数表达式，并将有限元解与精确解作比较。（10分）解：（1）对于三次单元，首先假设三次函数作为插值函数：（2）等分的四个节点分别为1，2，3，4整理为形函数形式：采用拉格朗日插值多项式求解形函数：（3）求出形函数：(4)求解刚度矩阵：经过计算得：标准文案实用文档（5）求解载荷矩阵：经过计算得：(6)用最小势能原理得：其中由于可以划去第一个方程解出其余三个方程组得：(7)求解插值函数表达式：标准文案实用文档所以：精确解为：（8）单元应力：经计算得：精确解为：一实验题目：一个200mm×200mm平板，中心有一个直

8、径5mm圆孔，左右两边受面内均匀拉伸载荷1MPa。建立平面应力问题有限元模型，分别采用3节点三角形单元和8节点四边形等参元计算孔边应力集中。标准文案实用文档二实验目的：通过采用3节点三角形单元和8节点四边形等参元计算孔边应力集中，对两种单元的求解精度进行比较。经过简单力学分析，可以知道本实验问题属于平面应力问题，基于结构和载荷的对称性，可以只取