专题6.3 等比数列及其前n项和(教学案)-2014年高考数学(理)一轮复习精品资料(解析版)

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1、【重点知识梳理】1.等比数列的有关概念(1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零),那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示,定义的表达式为=q(n∈N*,q为非零常数).(2)等比中项:如果a、G、b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.即:G是a与b的等比中项⇔a,G,b成等比数列⇒G2=ab.2.等比数列的有关公式(1)通项公式:an=a1qn-1.(2)前n项和公式:Sn=3.等比数列{an}的常用性质(1)在等比数列{an

2、}中,若m+n=p+q=2r(m,n,p,q,r∈N*),则am·an=ap·aq=a.特别地,a1an=a2an-1=a3an-2=….(2)在公比为q的等比数列{an}中,数列am,am+k,am+2k,am+3k,…仍是等比数列,公比为qk;数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍是等比数列(此时q≠-1);an=amqn-m.【特别提醒】1.等比数列的特征(1)从等比数列的定义看,等比数列的任意项都是非零的,公比q也是非零常数.(2)由an+1=qan,q≠0并不能立即断言{an}为等比数列

3、,还要验证a1≠0.2.等比数列的前n项和Sn学科网学易学生平台,专为高三考生打造,学易,让学习更容易!学易平台,诚邀各地代理,有意者,敬请联系!22联系地址:北京市房山区星城北里综合办公楼(学科网)邮政编码:102413电话:010-58425255/6/7传真:010-89313898(1)等比数列的前n项和Sn是用错位相减法求得的,注意这种思想方法在数列求和中的运用.(2)在运用等比数列的前n项和公式时,必须注意对q=1与q≠1分类讨论,防止因忽略q=1这一特殊情形导致解题失误.【高频考点突破】考

4、点一、等比数列的判定与证明等比数列的判定方法(1)定义法:若=q(q为非零常数,n∈N*)或=q(q为非零常数且n≥2,n∈N*),则{an}是等比数列.(2)等比中项法:若数列{an}中,an≠0且a=an·an+2(n∈N*),则数列{an}是等比数列.(3)通项公式法:若数列通项公式可写成an=c·qn(c,q均是不为0的常数,n∈N*),则{an}是等比数列.例1、已知数列{an}的前n项和为Sn,且an+Sn=n.(1)设cn=an-1,求证:{cn}是等比数列;(2)求数列{an}的通项公式

5、.(2)由(1)可知cn=·n-1=-n,∴an=cn+1=1-n.考点二、等比数列的基本运算1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列中有五个量a1,n,q,an,Sn学科网学易学生平台,专为高三考生打造,学易,让学习更容易!学易平台,诚邀各地代理,有意者,敬请联系!22联系地址:北京市房山区星城北里综合办公楼(学科网)邮政编码:102413电话:010-58425255/6/7传真:010-89313898,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)可迎刃而解.2.在使用等比数列的前n项和

6、公式时,应根据公比q的情况进行分类讨论,切不可忽视q的取值而盲目用求和公式.例2.已知数列{an}是公差不为零的等差数列,a1=2,且a2,a4,a8成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求数列{3an}的前n项和.考点三、等比数列的性质等比数列与等差数列在定义上只有“一字之差”,它们的通项公式和性质有许多相似之处,其中等差数列中的“和”“倍数”可以与等比数列中的“积”“幂”相类比.关注它们之间的异同有助于我们从整体上把握,同时也有利于类比思想的推广.对于等差数列项的和或等比数列项的积的运算

7、,若能关注通项公式an=f(n)的下标n的大小关系,可简化题目的运算.例3.(1)已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10=(  )A.7           B.5C.-5D.-7(2)已知{an}是等比数列,a2=2,a5=,则a1a2+a2a3+…+anan+1=(  )A.16(1-4-n)B.16(1-2-n)C.(1-4-n)D.(1-2-n)解析:(1)选D 法一:学科网学易学生平台,专为高三考生打造,学易,让学习更容易!学易平台,诚邀各地代理,有意者,敬请联

8、系!22联系地址:北京市房山区星城北里综合办公楼(学科网)邮政编码:102413电话:010-58425255/6/7传真:010-89313898【经典考题精析】(2013·新课标全国卷Ⅰ]若数列{an}的前n项和Sn=an+,则{an}的通项公式是an=________.(2013·北京卷)已知{an}是由非负整数组成的无穷数列,该数列前n项的最大值记为An,第n项之后各项an+1,an+2,…的最小值记为Bn,dn=An-Bn.(1)

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