内积与正交矩阵

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1、第二章n维列向量§2.6内积与正交矩阵§2.6内积与正交矩阵一.Rn中向量的内积,长度和夹角1.设=(a1,a2,…,an)T,=(b1,b2,…,bn)T,记为[,],即则称实数aibi为向量与的内积ni=1[,]=aibi=T.ni=1(inner/dot/scalarproduct).第二章n维列向量§2.6内积与正交矩阵2.内积的基本性质对称性:[,]=[,];(2)线性性:[k11+k22,]=k1[1,]+k2[2,];(3)[,]0;且[,]=0=0.(4)(Cauchy-Schwa

2、rtzInequality)

3、[,]

4、[,][,].考察y=[,]x2+2[,]x+[,].n=(xai+bi)20i=1=(2[,])24[,][,]0[,]2[,][,].第二章n维列向量§2.6内积与正交矩阵3.对于n维实向量,称[,]为的长度(length)或模(modulus),记为

5、

6、

7、

8、,即4.长度的基本性质(3)三角不等式(TriangleInequality):[,]

9、

10、

11、

12、==ai2ni=1(1)正定性:

13、

14、

15、

16、0;且

17、

18、

19、

20、=0=0;(2)齐次性

21、:

22、

23、k

24、

25、=

26、k

27、·

28、

29、

30、

31、(kR);

32、

33、+

34、

35、

36、

37、

38、

39、+

40、

41、

42、

43、.第二章n维列向量§2.6内积与正交矩阵5.长度为1的向量称为单位向量(unitvector).对于非零向量,

44、

45、

46、

47、1是一个单位向量.——这个过程叫单位化/标准化(normalize).6.设,Rn,若0,0,则定义,的若[,]=0,即=/2,则称与正交(orthogonal).夹角(theanglebetweenand)为=arccos[,]

48、

49、

50、

51、·

52、

53、

54、

55、,0第二章n维列向量§2.6内积与正交矩阵例2.25设

56、,Rn,且与线性无关,求常数k使+k与正交.

57、

58、

59、

60、=

61、

62、

63、

64、cos=[,]

65、

66、

67、

68、=

69、

70、

71、

72、

73、

74、

75、

76、[,]

77、

78、

79、

80、

81、

82、

83、

84、=

85、

86、

87、

88、=[,]

89、

90、

91、

92、

93、

94、

95、

96、[,][,].=第二章n维列向量§2.6内积与正交矩阵二.正交向量组和Schmidt正交化方法正交(mutuallyorthogonal)向量组标准正交(orthonormal)向量组正交基(orthogonalbasis)标准正交基(orthonormalbasis)1.概念(P76-77)第二章n维列向量§2.6内积与

97、正交矩阵命题2.3.设1,2,…,s是标准正交向量组,且=k11+k22+…+kss,则ki=[,i],i=1,2,…,s.2.结论定理2.9.1,2,…,s正交线性无关.命题2.4.设1,2,…,s线性无关(s2),则存在一个正交向量组1,2,…,s使得1,2,…,t与1,2,…,t等价(1ts).第二章n维列向量§2.6内积与正交矩阵1=1,………3.方法(Gram-Schmidtorthogonalisationprocess)2=2[2,1][1,1]1,s=s[s,

98、1][1,1]1…[s,s1][s1,s1]s1再将1,2,…,s单位化得:1=1

99、

100、1

101、

102、,2=2

103、

104、2

105、

106、,…,s=s

107、

108、s

109、

110、.第二章n维列向量§2.6内积与正交矩阵例题2.26用Schmidt正交化方法求一个与等价的向量组。解:利用Schmidt正交化方法,先将这个向量组正交化。第二章n维列向量§2.6内积与正交矩阵再将单位化即得所求得标准正交向量组:对于给定向量空间,如果已知其一组基,只要用Schmidt正交化方法将其正交化,单位化,就可以得到这个空间的一组标准正交基。三.正交矩阵(orthogo

111、nalmatrix)1.满足QTQ=E(即Q1=QT)的实方阵Q称为正交矩阵,简称为正交阵.由定义可知矩阵Q是正交矩阵当且仅当Q可逆,且第二章n维列向量§2.6内积与正交矩阵定理2.10.设Q为n阶实方阵,则下列条件等价:推论.(1)Q为正交阵

112、Q

113、=1,Q1也是正交阵;(2)Q的列向量组构成Rn的一组标准正交基;(1)Q是正交矩阵;(3)QT是正交矩阵.(2)A,B为正交阵AB为正交阵.

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