内积空间的标准正交基

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1、2.4内积空间的标准正交基2.4.1标准正交集定义2.4.1（标准正交集）设X为一内积空间，M含于X，若M中的所有元素之间是两两正交的，就称M为一正交集；再若M中每个元素的范数都是1，称M为标准正交集。标准正交集的性质：（1）任何标准正交集都是线性无关的。（2）若（e1,e2,……,en）是标准正交序列，则每一个x∈Span{e1,e2,……,en}都可以唯一的表示为(3)对于任何线性无关的序列（xi），可以应用格拉姆-施密特标准正交化方法得到一个标准正交序列（ei），使得对每一个n属于N都有Span{e1,e2,……,en}

2、=Span{x1,x2,……,xn}2.4.2内积空间的标准正交系定义2.4.3（傅里叶级数）设（en）是内积空间X中的一个标准正交系，任给x∈X，则称级数为矢量x关于正交系（en）的傅里叶级数，称为x关于en的傅里叶系数。定理2.4.4设{en}是X中的标准正交集，M是由{en}中m个矢量张成的线性子空间，即M=Span{e1,e2,……,em}，对任意的x∈X，级数是x在M上的正交投影。而且有：定理2.4.5若（en）是内积空间X（无穷维的）的标准正交系，x∈X，则有下列贝塞尔不等式成立：定理2.4.6若（en

3、）是内积空间X的标准正交系，M=Span{e1,e2,…,en}，x∈X，对任意的m维数组（α1,α2,…,αn）有2.4.3内积空间的标准正交基定义2.4.7（内积空间的完全标准正交系或标准正交基）在内积空间X中的标准正交系（en）被称作是完全的，是指X中不存在与所有en正交的非零元素。定理2.4.8设（en）是希尔伯特空间X中的标准正交系，x∈X，则等式成立的充要条件是：（en）是完全的。上式也称为帕塞法耳等式。定理2.4.9如果（en）是希尔伯特空间X中的标准正交基，则任意的x∈X都可以表示为定义（完备的）设（en）是内

4、积空间X中的标准正交系，如果对于每一个x∈X，帕塞法耳等式恒成立，则称（en）是完备的。定理设（en）是希尔伯特空间X中的一个规范（标准）正交系，则下列性质等价：（1）（en）是完备的；（2）（en）是完全的；（3）对于X中任一元素x，级数在X中收敛于x；（4）对X中任意两个元素x，y有2.4.4常用标准正交基举例1、勒让德多项式通项：另外，拉普拉斯方程在求坐标系下分离变量得到勒让德方程为勒让德多项式的级数表示．注意到,故可方便地得出前几个勒让德多项式:勒让德多项式的图形可通过计算机绘图(如MATLAB)得到当时满足3、拉盖尔

5、多项式氢原子的定态薛定谔方程分离变量，得到