函数的单调性与最值1

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1、第三节函数的单调性与最值基础梳理1.定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1f(x2)).f(x1)f(x2))区间D局部

2、定义域任意2.如果函数y=f(x)在某个区间上是________或________,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的________.注意:若一个函数出现两个或两个以上单调区间时,不能用“∪”联结.单调区间增函数减函数3.复合函数的单调性对于函数y=f(u)和u=g(x),如果当x∈(a,b)时,u∈(m,n),且u=g(x)在区间(a,b)上和y=f(u)在区间(m,n)上同时具有单调性,那么复合函数y=f(g(x))在区间(a,b)上具有________,并且具有这样的规律:“__

3、______”,见表.y=f(u)增函数减函数u=g(x)增函数减函数增函数减函数y=f(g(x))单调性同增异减增函数增函数减函数减函数增函数减函数4.函数的最值(1)设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M,满足:①对于任意的x∈I,都有________.②存在x0∈I,使得________.则称M是f(x)的最大值.(2)设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M,满足:①对于任意的x∈I,都有________.②存在x0∈I,使得________.则称M是f(x)的最小值.f(x)≤Mf(x0)=Mf(x)≥Mf(

4、x0)=M基础达标(教材改编题)下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是()A.y=-x+1B.y=C.y=x2-4x+5D.y=B解析:结合函数的图象可知只有选项B对应的函数满足题意.2.(教材改编题)f(x)=4x2-mx+5在[-2,+∞)为增函数,f(1)的取值范围是()A.(-∞,25]B.(25,+∞)C.[25,+∞)D.(-∞,25)C解析:由题意知对称轴≤-2,即m≤-16,所以f(1)=9-m≥25.3.若函数y=ax与y=-在(0,+∞)上都是减函数,则y=ax2+bx在(0,+∞)上是()A.增函数B.减函

5、数C.先增后减D.先减后增B解析:由题意可知a<0,b<0,∴y=ax2+bx的对称轴方程:x=<0,又∵a<0,∴y=ax2+bx在(0,+∞)上为减函数.4.函数f(x)=在[2,3]上的最小值为________,最大值为________.解析:∵f(x)在(1,+∞)上为减函数,∴f(x)在[2,3]上单调递减,∴f(x)min=f(3)=,f(x)max=f(2)=1.5.函数的单调递减区间是________.(3,+∞)解析:令u=

6、x-3

7、,则在(-∞,3)上u为x的减函数,在(3,+∞)上u为x的增函数.又∵0<<1,

8、∴在定义域内为减函数,∴在区间(3,+∞)上y为x的减函数.经典例题【例1】判断并证明函数f(x)=,x∈[-1,+∞)的单调性.题型一 函数单调性的判断与证明分析:判断函数的单调性可利用定义法、导数法、图象法或利用已知函数的单调性,但是严格证明需采用定义法或导数法,本题可以先判再证.解:函数f(x)=在[-1,+∞)上为增函数,证明如下:任取x1、x2∈[-1,+∞)且-1≤x1

9、)上为增函数.判断并证明函数f(x)=(a>0)在x∈(-1,1)上的单调性.变式1-1方法一(定义法):设-10,x1x2+1>0,(x12-1)(x22-1)>0.又a>0,∴f(x1)-f(x2)>0,函数f(x)在(-1,1)上为减函数.方法二(导数法):∵a>0,x2+1>0,(x2-1)2>0,∴f‘(x)<0,∴函数f(x)在(-1,1)上为减函数.题型二 求函数的单调区间【例2】求函数f(x)=x+的单调区间.分析:利用定义法或导数法.

10、解:方法一:首先确定定义域{x

11、x≠0},所以要在(-∞,0)和(0,+∞)两个区间上分别讨.任取x1,x2∈(0,+∞)且x1

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