分段函数、换元法求解析式

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1、例6.某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定:(1)5公里以内(含5公里),票价2元;(2)5公里以上,每增加5公里,票价增加1元(不足5公里按5公里计算).如果某条线路的总里程为20公里,请根据题意,写出票价y与里程x之间的函数解析式,并画出函数的图象.解:设票价为y元,里程为x公里,由题意可知,自变量的取值范围是(0,20],由票价制定规则,可得到以下函数解析式:【分段函数】【高考热点、重点】解:函数解析式为y5x10152012345O有些函数在它的定义域中,对于自变量的不同取值范围,对应关系不同,这种函数通

2、常称为分段函数.里程x(km)票价y(元)2345此函数用列表法表示此分段函数的定义域为此分段函数的值域为①自变量的范围是怎样得到的?②自变量的范围为什么分成了四个区间?区间端点是怎样确定的?③每段上的函数解析式是怎样求出的?解:由题y=

3、x+5

4、+

5、x-1

6、当x≤-5时,y=-(x+5)-(x-1)=-2x-4当-5<x≤1时,y=(x+5)-(x-1)=6当x>1时,y=(x+5)+(x-1)=2x+4xyo-5162.化简函数变式练习1.函数表示法第二课时例2【定义域】?【值域】?3.已知函数若f(x)=3,则x的

7、值是……………().A.1B.C.D.D分段函数是一个函数,不要把它误认为是“几个函数”;【定义域】?【值域】?【函数的表示第一课时例3】4.(浙江13)已知f(x)=,则不等式x+(x+2)·f(x+2)≤5的解集是__________.小结:采取分类的方法,利用已知分段函数,把所求不等式化为分段的几个不等式,然后取不等式解集的并集。5.(上海)函数,的值域是。小结:采取分类的方法,利用已知分段函数,把所求函数的值域转化成画函数图象,然后根据函数图象找到函数的值域。补例.某质点在30s内运动速度v(cm/s)是时间t(

8、s)的函数,它的图像如下图.用解析式表示出这个函数,并求出9s时质点的速度.解:解析式为v(t)=t+10,0≤t<5,3t,5≤t<10,30,10≤t<20,-3t+90,20≤t≤30.t=9s时,v(9)=3×9=27(cm/s).1.y=kx+b经过点(1,0),(0,-1),则y=_______;2.求满足下列条件的二次函数f(x)的解析式:顶点坐标为(2,3),且图象经过(3,1)点,则f(x)=________________;x-1-2(x-2)2+3求下列函数的解析式3.已知函数f(x)=x2+x-1

9、,则f(2)=_____,若f(x)=5,则x=_______.52,-3【高考热点、重点】例1.已知f(x)是一次函数,且f[f(x)]=4x-1,求f(x)的解析式.解:设f(x)=kx+b,则f[f(x)]=f(kx+b)=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=4x-1.1.待定系数法必有(函数类型确定时用此法)一般式:y=ax2+bx+c两根式:y=a(x-x1)(x-x2)顶点式:y=a(x-h)2+k解:设所求的二次函数为y=ax2+bx+c由条件得:a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7解方程得:

10、因此:所求二次函数是:a=2,b=-3,c=5y=2x2-3x+51.已知一个二次函数的图象过点(-1,10)、(1,4)、(2,7)三点,求这个函数的解析式?oxy演练反馈解:设所求的二次函数为y=a(x+1)2-3由条件得:2.已知抛物线的顶点为(-1,-3),与轴交点为(0,-5)求抛物线的解析式?yox点(0,-5)在抛物线上a-3=-5,得a=-2故所求的抛物线解析式为y=-2(x+1)2-3即:y=-2x2-4x-5一般式:y=ax2+bx+c两根式:y=a(x-x1)(x-x2)顶点式:y=a(x-h)2+

11、k例题封面演练反馈解:设所求的二次函数为y=a(x+1)(x-1)由条件得:3.已知抛物线与X轴交于A(-1,0),B(1,0)并经过点M(0,1),求抛物线的解析式?yox点M(0,1)在抛物线上所以:a(0+1)(0-1)=1得:a=-1故所求的抛物线解析式为y=-(x+1)(x-1)即:y=-x2+1一般式:y=ax2+bx+c两根式:y=a(x-x1)(x-x2)顶点式:y=a(x-h)2+k例题封面演练反馈∴f(x)=x2-1(x≥1).f(t)=t2-12.配凑法-变形解析式,整体换元解:设则即演练反馈∴f(

12、x)=x2-1(x≥1).3.换元法解:令则即演练反馈

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