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《分离变量法第一节：预备知识》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第二章分离变量法本章中心内容用分离变量法求解各种有界问题；本章基本要求着重掌握分离变量法的解题思路、解题步骤及其核心问题---本征值问题（特征值问题）分离变量法基本思想是把偏微分方程分解为几个常微分方程，其中有的常微分方程带有附加条件从而构成特征值问题。分离变量法理论依据是线性方程的叠加原理和Sturm-Liouville特征值（本征值）理论。分离变量法又称特征展开法和Fourier级数方法第一节：预备知识1.下面的定理叙述了Fourier级数展开的一个结论．定理1设函数f是以2L为周期的函数，在[
2、-L,L]上满足Dirichlet条件，即在[-L,L]上只有有限多个第一类间断点和有限多个极值点．则在[-L,L]上，f可以展成Fourier级数：上式的含义：在f的连续点处取等号，在f的间断点处取其左右极限的平均值，其中如果f是奇函数，则其中,注1.在定理1的条件下，如果f是偶函数，则其中,对应用定理1，可知在[0,L]上，注2.如果f在[0,L]上满足Dirichlet条件．将f展开成Fourier级数的方法．其中,方法1.将f延拓成整个实轴上2L周期的“奇函数”其中,方法2.将f延拓成整个实
3、轴上2L周期的偶函数对应用定理1，可知在[0,L]上，例1.把展开成(1)正弦级数;(2)余弦级数.解:(1)将f(x)作奇周期延拓,则有在x=2k处级数收敛于何值?机动目录上页下页返回结束(2)将作偶周期延拓,则有机动目录上页下页返回结束2.正交函数系，标准正交系，带权函数的正交函数系定义.一列函数 构成的函数系称为在[a,b]上正交,如果正交系称为标准正交的，如果函数系在[a,b]上称为带权函数r(x)正交的，如果例2．是[0,L]上的正交函数系；是[-L,L]上的正交函数系，但不是[0,L]
4、上的正交函数系．是[0,L]上的正交函数系；是的正交函数系．上带权函数完备正交函数集：如果在正交函数集{1(t)，2(t)，…，n(t)}之外，不存在函数φ(t)(≠0）满足则称此函数集为完备正交函数集。(可比较课本上的定义)(i=1，2，…，n)对应的特征方程：两个根：.3.常系数二阶线性常微分方程的通解(3)(1)为相异实数，通解为:(2)为相同实数，通解为：为两个虚数，通解为：例3.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程的通解为例4.求解初值问题解:特征方程有重根因此原方程的通解为利用初
5、始条件得于是所求初值问题的解为机动目录上页下页返回结束4欧拉(Euler)方程变系数的线性微分方程,一般来说不易求解,但有些特殊的变系数线性微分方程可通过变量代换化为常系数线性微分方程.欧拉方程就是一种可化为常系数方程的方程.方程(1)称为二阶欧拉方程,其中a,b为常数.而称n阶方程(2)为n阶欧拉方程,其中为常数.二阶欧拉方程(1)的求解令则t=lnx,代入方程(1)有即(3)这是一二阶线性常系数微分方程.例5求方程的通解.解这是一二阶欧拉方程令则t=lnx,原方程可化为特征方程特征根齐次方程的通
6、解:设非齐次方程的特解:代入方程解得所以非齐次方程的通解原方程的通解5.线性方程的叠加原理n阶线性常微分方程的一般形式为其中a1(x),…,an－1(x),an(x)和f(x)均为x的已知连续函数.如果f(x)≡0,则式(9.22)变为定理(线性常微分方程解的性质定理)(1)齐次线性方程组的叠加原理:如y1(x),…,ym(x)是n阶齐次线性方程(9.23)的m个解,则它们的线性组合y(x)=C1y1(x)+…+Cmym(x)也是方程(9.23)的解,其中C1,…,Cm为任意常数;(2)非齐次线性方
7、程解的叠加原理:如果y1(x)和y2(x)分别为非齐次线性方程和的解,则y1(x)+y2(x)是非齐次线性方程.的解线性偏微分定解问题的叠加性质L称为算子，偏微分方程可以用算子作用在函数上标示出来非齐次方程L[u]=f(x,y,z,t)齐次方程L[u]=01.算子2.性质u2是齐次方程的解L[u2]=0L[u1]=f1)分别是齐次方程的解2)是非齐次方程的解则是非齐次方程的解:则其组合3.若L[u1]=f1,L[u2]=f2性质（3）对边界条件，初始条件常常用到。则
