难点05 复杂数列的通项公式与求和问题（教学案）-备战2015年高考数学二轮复习精品资料（文理通用）（解析版）

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1、数列在高考中占重要地位，每年都考，应当牢记等差、等比的通项公式，前n项和公式，等差、等比数列的性质，以及常见求数列通项的方法，如累加、累乘、构造等差、等比数列法、取倒数等。数列求和问题是数列中的重要知识，在各地的高考试题中频频出现，对于等差数列、等比数列的求和主要是运用公式；而非等差数列、非等比数列的求和问题，一般用倒序相加法、通项化归法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法等．数列的求和问题多从数列的通项入手，通过分组、错位相减等转化为等差或等比数列的求和问题，考查等差、等比数列求和公式及转化与化归思想的应用，属中档

2、题．一、数列的通项公式数列的通项公式在数列中占有重要地位，是数列这部分内容的基础之一，在高考中，等差数列和等比数列的通项公式，前n项和公式以及它们的性质是必考内容，一般以填空题、选择题的形式出现，属于低中档题，若数列与函数、不等式、解析几何、向量、三角函数等知识点交融，难度就较大，也是近几年命题的热点.1.由数列的前几项归纳数列的通项公式根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋

3、1来调整．例1.根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式（1）-1,7，-13,19，…；（2）0.8,0.88,0.888，…；（3）－；[来源:学科网ZXXK]思路分析：归纳通项公式应从以下四个方面着手：(1)观察项与项之间的关系；(2)符号与绝对值分别考虑；(3)规律不明显，适当变形．11汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！2.由数列的递推关系求通项若一个数列首项确定，其余各项用an与an－1的关系式表示(如an＝2an－1＋1，(n>1)，则这个关系式称为数列的递推公式．由递推关系求数列的通项

4、的基本思想是转化，常用的方法：(1)an＋1－an＝f(n)型，采用叠加法．(2)＝f(n)型，采用叠乘法．(3)an＋1＝pan＋q(p≠0，p≠1)型，转化为等比数列解决．例2.【重庆南开中学高2015级高三9月月考】在数列中，[来源:学科网]（）．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）是否存在常数，使得数列是一个等差数列？若存在，求的值及的通项公式；若不存在，请说明理由．思路分析：（Ⅰ）直接把，3，代入，再注意，即可求出数列的前三项；（Ⅱ）先假设存在一个实数符合题意，得到必为与无关的常数，整理即可求出实数λ，进而求出数列的通项公

5、式．11汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！3.由与的关系求通项数列是一种特殊的函数，因此，在研究数列问题时，即要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性．Sn与an的关系为：an＝例3.【广东省肇庆市2014年高三模拟考试】已知数列的前n项和为，且满足，.则数列的通项公式.试题分析：当代入式子结合即可得到的值,当时,利用与的关系()即可得到是一个常数,即可得到数列为等差数列,但是需要验证是否符合,进而证明为等差数列,即可求的通项公式.11汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！4.等差数列前n

6、项和的最值等差数列的单调性与的最大或最小的关系.（1）若，则等差数列中有，即，所以数列为单调递增；当时，有，所以的最小值为.当时，有则一定存在某一自然数，使或，则的最小值为.（2）若，则等差数列中有，即，所以数列为单调递减；当时，有则一定存在某一自然数，使或，则的最大值为.当时，有，所以的最大值为.例4.【广东省惠州市2014年高三年级第一次调研考试（理）】已知等差数列的公差，它的前项和为，若，且成等比数列.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列的前项和为，求证：.试题分析：（Ⅰ）求通项公式的关键是求出，所以通过等差数

7、列的求和公式和等比中项将两个已知条件都转化为的关系式，解出，就可以求出等差数列的通项公式了.(2)先用裂项相消法求出的值，再通过作差法看出数列是递增数列，求出最大值和最小值，即得到证明.11汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！二数列的求和数列求和是高考的热点，主要涉及等差、等比数列求和、错位相减法求和、裂项相消法求和与并项法求和，题目呈现方式多样，在选择题、填空题中以考查基础知识为主，在解答题中以考查错位相减法和裂项相消法求和为主，求解的关键是抓住通项公式的特征，正确变形，分清项数求和．数列求和应从通项入手

8、，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列求和．常见类型及方法(1)an＝kn＋b，利用等差数列前n项和公式直接求解；(2)an＝a·qn－1，利用等比数列前n项和公式直接求解；(3)an＝bn±cn，数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，采用分组求和法求{an}的前n项和．(4)an＝bn·cn，数列{bn}，