难点06 数列中的证明、探索等综合问题（教学案）-备战2015年高考数学二轮复习精品资料（文理通用）（解析版）

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1、近几年的高考试卷中经常出现以数列为载体的证明、探索等综合问题问题，这类问题不仅考查学生的分析问题解决问题以及探索能力，而且给学生提供了创新思维的空间．现将这三类问题的解法总结如下，供同学们学习时参考．I等差数列、等比数列的证明问题翻看近几年的高考题，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，主要证明方法有：利用等差、等比数列的定义、运用等差或等比中项性质、反证法、利用通项公式与前项和公式，证明或判断等差（等比）数列即数学归纳法．[来源:学科网]方法一：利用等差（等比）数列的定义用定义法判断一个数列是等差数列，常采用的两个式子

2、和有差别，前者必须加上“”，否则时无意义；在等比数列中一样有：时，有（常数）；②时，有（常数）．例1．【2010年安徽高考文数第21题】设，，…，，…是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在轴的正半轴上，且都与直线相切，对每一个正整数，圆都与圆相互外切，以表示的半径，已知为递增数列．(Ⅰ)证明：为等比数列；(Ⅱ)设，求数列的前项和．思路分析：（I）求直线倾斜角的正弦，设的圆心为，得，同理得，结合两圆相切得圆心距与半径间的关系，得两圆半径之间的关系，即中与的关系，证明为等比数列；（II）利用（I）的结论求的通项公式，代入数列，然后用错位相减

3、法求和．28汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！变式．设数列{an}的前n项和为Sn，且(3－m)Sn＋2man＝m＋3(n∈N*)，其中m为常数，且m≠－3．（Ⅰ）求证：{an}是等比数列；（Ⅱ）若数列{an}的公比q＝f(m)，数列{bn}满足b1＝a1，bn＝f(bn－1)(n∈N*，n≥2)，求证：{}为等差数列，并求bn．方法二：运用等差或等比中项性质28汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！是等差数列，是等比数列，这是证明数列为等差（等比）数列的另一种主要方法．例2．正数数列和满足：对任意自然数成等差数列

4、，成等比数列．证明：数列为等差数列．变式．设数列的前项为，已知，且其中为常数．（Ⅰ）求与的值；（Ⅱ）证明数列为等差数列．(III)证明不等式对任何正整数m、n都成立．28汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！方法三：反证法解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发，经过一系列的推理和运算，最后得到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手的情况，这时可从反面去考虑．如：例3．【2013年陕西卷】设{an}是公比为q的等比数列．28汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！（Ⅰ）推导{an}的前n项和公式；（

5、Ⅱ）设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．变式．设是公比不相等的两等比数列，．证明数列不是等比数列．28汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！方法四：利用通项公式与前项和公式，证明或判断等差（等比）数列例4．【2007年安徽高考文数第21题】某国采用养老储备金制度，公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后第年交纳的数目均比上一年增加d(d>0)，因此，历年所交纳的储备金数目a1，a2，…是一个公差为d的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利，这就是说，如果固定年利率为r(r

6、>0)，那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1(1+r)n－1，第二年所交纳的储备金就变为a2(1+r)n－2，……，以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额．（Ⅰ）写出Tn与Tn-1（n≥2）的递推关系式；（Ⅱ）求证：Tn=An+Bn，其中是一个等比数列，是一个等差数列．解析：（Ⅰ）我们有．（Ⅱ），对反复使用上述关系式，得28汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！例5．【2007年安徽高考理数第21题】某国采用养老储备金制度．公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d（d>0）

7、，因此，历年所交纳的储务金数目a1，a2，…是一个公差为d的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．这就是说，如果固定年利率为r（r>0），那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1(1+r)n－1，第二年所交纳的储备金就变为a2(1+r)n－2，……，以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额．（Ⅰ）写出Tn与Tn－1（n≥2）的递推关系式；（Ⅱ）求证：Tn＝An＋Bn，其中｛An｝是一个等比数列，｛Bn｝是一个等差数列．变式．已知正数数列{an}对任意p，q∈N＋，都有ap＋q＝ap＋aq，若

8、a2＝4，则a9＝(　　)A．6　　　　　　　　　B．9C．18D．2028汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！方法五：运用数学归纳法例6．数列的前项和记为，已知，．证明：数列是等比数列．变式．【2010高考安