难点08 以函数、数列、三角形、不等式等实际问题（教学案）-备战2015年高考数学二轮复习精品资料（文理通用）（原卷版）

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1、高考实际应用题一直是高考当中的重点与难点，虽有较为清晰的数学概念分析，但是如果学生对应用题当中的数学公式的基本应用没有一个较为清晰的理解，往往会陷入到应用的“陷阱”当中.因此良好的解题思路，以及正确的解题方式，是高考数学应用解题的重点.高考实际应用问题常常在函数、数列、三角函数和三角形、不等式中体现.因此对于高考数学应用题的解题方向来看，我们应当从构建具体的思维应用模式出发.1与函数相关的实际应用问题例1【黄冈中学2014年秋季高三年级11月月考数学（理科）】北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行

2、一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？[来源:学_科_网]（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元．公司拟投入万作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．点评：实际生活中的二次函数问题(如面积、利润、产量等)，

3、可根据已知条件确定二次函数模型，结合二次函数的图象、单调性、零点解决，解题中一定注意函数的定义域．例2【惠安一中、养正中学、安溪一中2015届高三上学期期中联合考试数学（理）科试卷】中国正在成为汽车生产大国，汽车保有量大增，交通拥堵日趋严重.某市有关部门进行了调研，相关数据显示，从上午点到中午点，车辆通过该市某一路段的用时(分钟)与车辆进入该路段的时刻之间关系可近似地用如下函数给出：5汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！求从上午点到中午点，车辆通过该路段用时最多的时刻．点评：很多实际问题中变量间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数，如出租

4、车票价与路程之间的关系，就是分段函数．分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段变量的范围，特别是端点值．点评：增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型(其中N是基础数，p为增长率，x为时间)和幂函数模型(其中a为基础数，x为增长率，n为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算和开方运算，要注意用已知给定的值对应求解．2与数列相关的实际应用问题在高考中，经常会遇到求增长率和利息、分期付款等实际问题，对于这类问题，常常构造等差或等比数列模型来求解.数列应用题常见模型：（1）等差模型：如果增加(或

5、减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差；（2）等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比；（3）递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是与的递推关系，还是前n项和与之间的递推关系．例4【三明一中2014—2015学年上学期学段考高三理科数学试题】某渔业公司年初用98万元购得一艘捕渔船，第一年各种费用12万元，以后每年都增加4万元，每年的捕鱼收益50万元（1）第几年开始获利？5汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！(2)若干年后，有两种处理方案：①

6、年平均获利最大时，以26万元出售该渔船；②总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船.请问：选择哪种方案更好？点评：用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型——数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时，要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后经过数学推理与计算得出的结果，放回到实际问题中进行检验，最终得出结论．处理分期付款问题的注意事项：(1)准确计算出在贷款全部付清时，各期所付款额及利息(注：最后一次付款没有利息)；(2)明确各期所付的款以及各期所付款到最后一次付款时所生的利

7、息之和等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和，只有掌握了这一点，才可以顺利建立等量关系．3与不等式相关的实际应用问题不等式型的数学实际应用问题，常考两种类型：一是由题意建立数学模型，设立目标函数，列出不等式组，再作出不等式组作代表的平面区域图形（即可行解区域），根据区域来求出目标函数最值，即是使用线性规划的方法求出最值；二是考查以“实际问题为背景”与函数的极值问题相结合成为高考的热点和难点，可以巧妙利用不等式模型进行处理.例5【2012年四川高考】某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生