刚体的转动定理

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1、§3.2力矩的瞬时效应——刚体的转动定理§3.2.1绕固定转轴的刚体转动定理1.改变物体转动状态的原因——力矩力对O点的力矩力矩的大小:方向:droM力对过O点的Z轴的力矩对于转轴z，讨论：A.力矩是使物体转动状态发生改变的原因(相当于平动问题中的合外力)B.对定轴转动,(1)只有在转动平面内的力才会产生力矩，平行于转轴的力是不会产生力矩的;(2)力矩的方向沿转轴。h2、绕固定轴转动的刚体转动定理将上式两边同时乘以ri由牛顿第二定律mi:切向方向利用矢量矢积的定义有任意形状刚体绕固定轴转动，将刚体看作质点系。设位矢为的质点mi

2、受到质点j的内力为，受到合外力为(转动平面内)考虑刚体中所有质点、力矩的定义以及内力上式成为当微元趋于无限小时定义转动惯量绕定轴转动的转动定理考虑整个刚体0连续体离散体(r或ri是质点到转轴的垂直距离)B.关于绕定轴转动的转动定律刚体绕定轴转动定律的地位等同于平动问题中的牛顿第二定律,适于研究刚体转动的瞬时效应；对于有固定转轴的刚体转动，转动定理可以写为标量式，此时，外力、位矢应当分解到与转轴垂直的平面内。适用条件：惯性系讨论：A.关于转动惯量转动惯量的物理意义：保持刚体原有转动状态的原因，是转动惯性的量度。转动惯量的求法：§3.2

3、.2刚体转动惯量的求解1.质量离散分布刚体I=Δmiri22.质量连续分布刚体即：刚体的转动惯量等于刚体上各质点的质量乘以它到转轴距离的平方的总和。式中:r为刚体上的质元dm到转轴的距离。3.转动惯量的平行轴定理：IIclCmoIc通过刚体质心的轴的转动惯量m刚体系统的总质量l两平行轴(o,c)间的距离4.垂直轴定理此定理只适用于平面薄板状的物体，并限于板内的两轴相互垂直，Z轴与板面正交。通过o点且垂直于三角形平面的轴的转动惯量为3=ml2+(3m)r2=2ml2IO=ml2+3mr2olll·crmmm例题1(1)轻杆连成

4、的正三角形顶点各有一质点m，此系统对通过质心C且垂直于三角形平面的轴的转动惯量为IO=m.02=30ml2+2m(2l2)+3m(2l)2+4ml2+5m(2l2)om2m3m4m5mllll(2)用轻杆连接五个质点,转轴垂直于质点所在平面且通过o点,转动惯量为记住！若棒绕一端o转动，由平行轴定理，则转动惯量为Cdxdmxxo解：o例题2均质细直棒(质量m、长l)，求通过质心C且垂直于棒的轴转动的转动惯量。一些常见物体的转动惯量§3.2.3绕定轴转动的转动定理的应用刚体转动定律的应用与平动问题中牛顿定律的应用完全相似主要类型：A.已

5、知刚体所受力矩求刚体转动状态B.已知刚体转动状态求刚体所受力矩C.已知刚体部分转动状态和部分力矩求解未知力矩和未知转动状态。例3：质量m1=24kg的匀质圆盘可绕水平光滑轴转动，一轻绳缠绕于盘上，另一端通过质量为m2=5kg的具有水平光滑轴的圆盘形定滑轮后挂有m=10kg的物体。求：物体m由静止开始下落h=0.5m时，物体的速度及绳的张力解：各物体受力情况如图所示解联立方程，代入数据，可得T1T1T2mgm1m2mRr12例4：一根质量为m、长为l的均匀细棒AB，可绕一水平光滑轴o在竖直平面内转动，o轴离A端的距离为l/3。今使

6、棒从静止开始由水平位置绕o轴转动求：棒转过角时的角加速度和角速度。解：各物体受力情况如图所示。又因所以ABoCmg完成积分得讨论:解：摩擦力分布在整个盘面上，计算摩擦力的力矩时，应将圆盘分为无限多个半径为r、宽为dr的圆环积分。故摩擦力矩例5：一质量为m、半径为R的匀质圆盘绕通过盘心且垂直于盘面的光滑轴正以o的角速度转动。现将盘置于粗糙的水平桌面上，圆盘与桌面间的摩擦系数为µ，求：圆盘经多少时间、转几圈将停下来？于是得转动惯量o水平桌面rdr又由，所以停下来前转过的圈数为