难点10 立体几何中的折叠问题、最值问题和探索性问题（教学案）-备战2015年高考数学二轮复习精品资料（文理通用）（原卷版）

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1、普通高等学校招生全国统一考试新课程标准数学科考试大纲指出，通过考试，让学生提高多种能力，其中空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力．要在立体几何学习中形成．纵观近几年全国及各省高考试题，对立体几何中的折叠问题、最值问题和探索性问题的考查逐年加重，要求学生要有较强的空间想象力和准确的计算运算能力，才能顺利解答．从实际教学和考试来看，学生对这类题看到就头疼．分析原因，首先是学生的空间想象力较弱，其次是学生对这类问题没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理．本文就高中阶段学习和考试出

2、现这类问题加以总结的探讨．1　立体几何中的折叠问题例１【2015届湖北省襄阳市第四中学高三阶段性测试】如图,直角梯形ABCD中，，AD=AB=2，BC=3，E，F分别是AD,BC上的两点，且AE=BF＝1，G为AB中点,将四边形ABCD沿EF折起到（如图2）所示的位置，使得EG丄GC，连接AD、BC、AC得（图2）所示六面体．（1）求证：EG丄平面CFG;[来源:Z_xx_k.Com]（2）求二面角A—CD-E的余弦值．思路分析：6汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！（1）利用已知的线面垂直关系建

3、立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键．（2）证明证线线垂直，只需要证明直线的方向向量垂直；（3）把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;（4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化．同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备．点评：本题考查了直线与平面垂直的判定和求二面角的余弦值，以折叠问题为栽倒，折叠问题是考查学生空

4、间想象能力的较好载体。如本题，不仅要求学生象解常规立几综合题一样懂得线线，线面和面面垂直的判定方法及相互转化，二面角平面角的作法，还要正确识别出直角三角形ABC沿斜边折叠而成的空间图形，更要识得折前折后有关线线、线面位置的变化情况以及有关量（边长与角）的变化情况，否则无法正确解题．这正是折叠问题的价值之所在．2　立体几何中的最值问题例2【2015届辽宁省大连市第二十高级中学高三上学期期中考试】如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝6，BC＝4，AB＝2，E、F分别在BC、AD上，EF∥AB．

5、现将四边形ABEF沿EF折起，使得平面ABEF平面EFDC．（1）当，是否在折叠后的AD上存在一点，使得CP∥平面ABEF？若存在，求出P点位置，若不存在，说明理由；（2）设BE＝x，问当x为何值时，三棱锥ACDF的体积有最大值？并求出这个最大值．思路分析：（1）当时，由题意可知，则考虑取点于处，过点作，交于点，由平行线分段成比例定理易知，所以，又因为[来源:学科网]，所以且，（2）根据题意易知为三棱锥的高，则底面的长为6汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！，高为，所以，从而可求出当时，有最大值，

6、最大值为3.点评：本题考查了平面图形与立体图形的转化、线面平行的判定和三棱锥体积的处理.对于图形的翻折问题，关健是利用翻折前后不变的数量关系和图形关系;同时还要仔细观察翻折前后图形的性质．很多情况下，我们都是把这类动态问题转化成目标函数，最终利用代数方法求目标函数的最值．建立函数法是一种常用的最值方法，很多情况下，我们都是把这类动态问题转化成目标函数，最终利用代数方法求目标函数的最值．解题途径很多，在函数建成后，可用一次函数的端点法、二次数的配方法、公式法、有界函数界值法（如三角函数等）及高阶函数的拐点导数

7、法等．3　立体几何中的探索性问题探究性问题常常是条件不完备的情况下探讨某些结论能否成立，立体几何中的探究性问题既能够考查学生的空间想象能力，又可以考查学生的意志力及探究的能力．近几年高考中立体几何试题不断出现了一些具有探索性、开放性的试题．内容涉及异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角，平行与垂直等方面，对于这类问题一般可用综合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法来解决．一般此类立体几何问题描述的是动态的过程，结果具有不唯一性或者隐藏性，往往需要耐心尝试及等价转化，因此，对于常见的探究方法的总结和探究

8、能力的锻炼是必不可少的．3.1对命题条件的探索[来源:Z

9、xx

10、k.Com]探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么．对命题条件的探索常采用以下三种方法：1、先猜后证，即先观察与尝试给出条件再给出证明;2、先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性;3、把几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件．例3【2015届河北省保定市重点中学高三上学期12月份联考】如图，在梯形中，，，，四边形是矩形，且