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时间：2019-06-25
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1、第四章解析函数的级数表示4.1.下列序列是否有极限?如果有极限，求出其极限。（1）；（2）（3）；解：（1）当时，不存在极限，故的极限不存在。（2）,故。（3）=（令）==，时，的极限都不存在，故无极限。4.2.下列级数是否收敛？是否绝对收敛？（1）；（2）；（3）。解：（1）因发散。故发散。（2）收敛；故（2）绝对收敛。（3）不成立，故发散。4.3.试证级数当时绝对收敛。证明：当时，令，，且。收敛，故绝对收敛。4.4.试确定下列幂级数的收敛半径。（1）；（2）；（3）。解：（1），故。（2）故。（3），故。4.5.将下列各函数展开为的幂级数，并指出其收敛区域。（1
2、）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。解：（1）==，原点到所有奇点的距离最小值为1，故.(2)===,,且，即。若则==（3）（4）（5）（6）令1，为的唯一奇点，原点到的距离为，故收敛半径4.6.证明对任意的，有证明：因为所以又因为：==所以4.7求下列函数在指定点处的泰勒展式。解：（1）,=,(2),;,.(3),；===.==(4),,；4.8将下列各函数在指定圆环内展为洛朗级数。解：(1);,，=(2);=(3);=,,(4),==1/2=4.8解：将在处展开洛朗级数的奇点为。在与解析当,时，,当时，,=4.10将在的去心邻域内展开成洛朗级数。解：的
3、孤立奇点为。在最大的去心邻域内解析。当时，。上式即为在的去心邻域内的洛朗级数。
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