2017_2018版高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.2复数代数形式的乘除运算学案

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1、3.2.2　复数代数形式的乘除运算1．掌握复数代数形式的乘、除运算．(重点)2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．(难点)3．理解共轭复数的概念．(易混点)[基础·初探]教材整理1　复数的乘法法则及运算律阅读教材P58至“例2”以上内容，完成下列问题．1．复数的乘法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.2．复数乘法的运算律对任意z1，z2，z3∈C，有(1)交换律：z1·z2＝z2·z1.(2)结合律：(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)．(3)乘法对加法的分配律：z1

2、(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.已知a，b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)(1＋i)＝bi，则a＋bi＝________.【解析】　因为(a＋i)(1＋i)＝a－1＋(a＋1)i＝bi，a，b∈R，所以解得所以a＋bi＝1＋2i.【答案】　1＋2i教材整理2　共轭复数阅读教材P59“例3”以下至“探究”以上内容，完成下列问题．如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数互为共轭复数，z11的共轭复数用表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi.若x－2＋yi和3x－i互为共轭复数，则实数x＝________，y＝________.【解析】　由题意可得∴【答案】　－

3、1　1教材整理3　复数的除法法则阅读教材P59“探究”以下至P60“例4”以上内容，完成下列问题．设z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c＋di≠0且c，d∈R)，则＝＝＋i(c＋di≠0)．i是虚数单位，复数＝________.【解析】　＝＝＝2－i.【答案】　2－i[小组合作型]复数代数形式的乘除法运算　(1)设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝(　　)A．－3　　B．－2C．2D．3(2)已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z＝(　　)A．－2－iB．－2＋iC．2－iD．2＋i(3)计算：＝________.【精彩点拨】　(1)利用复数的乘

4、法运算法则进行计算．(2)利用复数的除法运算法则进行计算．(3)题中既有加、减、乘、除运算，又有括号，同实数的运算顺序一致，先算括号里的，再算乘除，最后算加减．【自主解答】　(1)(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(1＋2a)i，由题意知a－2＝1＋2a，解得a11＝－3，故选A.(2)∵(z－1)i＝i＋1，∴z－1＝＝1－i，∴z＝2－i，故选C.(3)＝＝＝＝＝＝－1＋i.【答案】　(1)A　(2)C　(3)－1＋i1．复数的乘法可以把i看作字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简．复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分

5、母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)．2．利用某些特殊复数的运算结果，如(1±i)2＝±2i，3＝1，＝－i，＝i，＝－i，i的幂的周期性等，都可以简化复数的运算过程．[再练一题]1．(1)复数等于(　　)A．i　B．－iC.＋iD.－i(2)已知复数z＝(5＋2i)2(i为虚数单位)，则z的实部为________．(3)计算：＝________.【解析】　(1)＝＝11＝i.(2)因为z＝(5＋2i)2＝25＋20i＋(2i)2＝25＋20i－4＝21＋20i，所以z的实部为21.(3)＝＝＝＝＋i.【答案】　(1)A　(2)21　(3)＋i共轭复数及其应用　已知复数z的

6、共轭复数是，且z－＝－4i，z·＝13，试求.【精彩点拨】　→→【自主解答】　设z＝x＋yi(x，y∈R)，则由条件可得即解得或因此z＝3－2i或z＝－3－2i.于是＝＝＝＝－i，或＝＝＝＝＋i.1．已知关于z和的方程，而复数z的代数形式未知，求z.解此类题的常规思路为：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程(组)求解．2．关于共轭复数的常用结论11(1)z·＝

7、z

8、2＝

9、

10、2是共轭复数的常用性质；(2)实数的共轭复数是它本身，即z∈R⇔z＝，利用此性质可以证明一个复数是实数；(3)若z≠0且z＋＝0，则z为纯虚数，利用此性质可证明

11、一个复数是纯虚数．[再练一题]2．已知复数z满足z·＋2i·z＝4＋2i，求复数z.【解】　设z＝x＋yi(x，y∈R)，则＝x－yi，由题意，得(x＋yi)(x－yi)＋2(x＋yi)i＝(x2＋y2－2y)＋2xi＝4＋2i，∴解得或∴z＝1＋3i或z＝1－i.[探究共研型]in的值的周期性及其应用探究1　i4n，i4n＋1，i4n＋2，i4n＋3(n∈N)的结果分别是什么？【提示】　1，i，－1，－i.探究2　in(n∈N)有几种不同的结