2017_2018版高中数学第二章推理与证明章末分层突破学案新人教a版

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1、第二章推理与证明[自我校对]①由部分到整体,由个别到一般②类比推理 ③演绎推理 ④由一般到特殊 ⑤综合法 ⑥执果索因⑦反证法  归纳推理1.归纳推理的一般步骤:(1)通过观察个别情况发现某些相同性质;(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题(猜想).2.在应用归纳推理时,首先要观察部分对象的整体特征,然后分析所观察对象中哪些元素是不变的,哪些元素是变化的,并将变化的量的变化规律表达出来. 如图21,一个树形图依据下列规律不断生长:1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆点,1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点.则第11行的实心圆点的个数是________.图

2、21【精彩点拨】 列出每行实心圆点的个数,从中归纳出变化规律,然后运用此规律求第11行实心圆点的个数.17【规范解答】 前6行中实心圆点的个数依次为:0,1,1,2,3,5,据此猜想这个数列的规律为:从第3项起,每一项都等于它前面两项的和,故续写这个数列到第11行如下:8,13,21,34,55,所以第11行的实心圆点的个数是55.【答案】 55[再练一题]1.记Sk=1k+2k+3k+…+nk,当k=1,2,3,…时,观察下列等式:S1=n2+n,S2=n3+n2+n,S3=n4+n3+n2,S4=n5+n4+n3-n,S5=An6+n5+n4+Bn2,…可以推测,A-B=___

3、_____.【解析】 由S1,S2,S3,S4各项系数知,A=,A+++B=1,于是B=-,所以A-B=+=.【答案】  类比推理1.类比推理的基本原则是根据当前问题的需要,选择适当的类比对象,可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手,由平面中的相关结论可以类比得到空间中的相关结论.2.平面图形与空间图形类比.平面图形空间图形点线线面边长面积17面积体积线线角二面角三角形四面体 在平面几何中研究正三角形内任意一点与三边的关系时,我们有真命题:边长为a的正三角形内任意一点到各边的距离之和是定值a,类比上述命题,请你写出关于正四面体内任意一点与四个面的关系的一个真命题,并给出简要

4、的证明.【精彩点拨】 利用类比推理时,正三角形可类比成正四面体,归纳出结论再给予证明.【规范解答】 类比所得的真命题是:棱长为a的正四面体内任意一点到四个面的距离之和是定值a.证明:设M是正四面体PABC内任一点,M到面ABC,面PAB,面PAC,面PBC的距离分别为d1,d2,d3,d4.由于正四面体四个面的面积相等,故有:VP-ABC=VM-ABC+VM-PAB+VM-PAC+VM-PBC=·S△ABC·(d1+d2+d3+d4),而S△ABC=a2,VP-ABC=a3,故d1+d2+d3+d4=a(定值).[再练一题]2.在△ABC中,若AB⊥AC,AD⊥BC于D,则=+.在

5、四面体ABCD中,若AB,AC,AD两两垂直,AH⊥底面BCD,垂足为H,则类似的结论是什么?并说明理由.【导学号:81092031】【解】 类似的结论是:如图,在四面体ABCD中,若AB,AC,AD两两垂直,AH⊥底面BCD,垂足为H,则=++.证明如下:17连接BH并延长交CD于E,连接AE.∵AB,AC,AD两两垂直,∴AB⊥平面ACD.又∵AE⊂平面ACD,∴AB⊥AE.在Rt△ABE中,有=+.①又易证CD⊥AE,在Rt△ACD中,=+.②将②代入①得=++. 演绎推理演绎推理是由一般到特殊的推理,一般模式为三段论.演绎推理只要前提正确,推理的形式正确,那么推理所得的结论

6、就一定正确. 已知平面α∥平面β,直线l⊥α,l∩α=A,如图22所示,求证:l⊥β.图22【精彩点拨】 分别确定大前提、小前提,利用演绎推理的方法证明.【规范解答】 在平面β内任取一条直线b,平面γ是经过点A与直线b的平面.设γ∩α=a.①如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行,(大前提)α∥β,且α∩γ=a,β∩γ=b,(小前提)所以a∥b.(结论)②如果一条直线与一个平面垂直,那么这条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直,(大前提)且l⊥α,a⊂α,(小前提)所以l⊥a.(结论)③如果一条直线和两条平行线中的一条垂直,那么它也与另一条垂直,(大前提)a∥b,

7、且l⊥a,(小前提)所以l⊥b.(结论)④如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直,那么这条直线和这个平面垂直,(大前提)因为l⊥b,且直线b是平面β内的任意一条直线,(小前提)所以l⊥β.(结论)17[再练一题]3.如图23,在空间四边形ABCD中,M,N分别为AB,AD的中点.求证:MN∥平面BCD(写出大前提,小前提,结论)图23【证明】 三角形中位线平行于底边,(大前提)∵M,N分别为AB与AD的中点,∴MN为△ABD的中位线.(小前提)∴MN∥BD.(结

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