2018届高三数学复习专题八选修系列第2讲不等式选讲理

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1、第2讲　不等式选讲1.(2017长沙统一模拟考试)已知f(x)=

2、x-a

3、+

4、x-3

5、.(1)当a=1时,求f(x)的最小值;(2)若不等式f(x)≤3的解集非空,求a的取值范围.2.(2017贵州适应性考试)已知函数f(x)=

6、x-1

7、+

8、x-5

9、,g(x)=.(1)求f(x)的最小值;(2)记f(x)的最小值为m,已知实数a,b满足a2+b2=6,求证:g(a)+g(b)≤m.-4-3.(2017昆明教学质量检测)已知函数f(x)=

10、x+2

11、.(1)解不等式2f(x)<4-

12、x-1

13、;(2)已知m+n=1(m>0,n>0),若不等式

14、x-a

15、-f(x)≤+恒成立,求实数a的取值范围.

16、4.(2017成都第二次诊断性检测)已知函数f(x)=4-

17、x

18、-

19、x-3

20、.(1)求不等式f≥0的解集;(2)若p,q,r为正实数,且++=4,求3p+2q+r的最小值.-4-答案精解精析1.解析　(1)当a=1时,f(x)=

21、x-1

22、+

23、x-3

24、≥

25、(x-1)-(x-3)

26、=2,故f(x)的最小值为2,当且仅当1≤x≤3时取得最小值.(2)f(x)=

27、x-a

28、+

29、x-3

30、≥

31、(x-a)-(x-3)

32、=

33、3-a

34、,若不等式f(x)≤3的解集非空,则

35、3-a

36、≤3,即-3≤3-a≤3,因此0≤a≤6,所以a的取值范围是[0,6].2.解析　(1)∵f(x)=

37、x-1

38、+

39、x-5

40、,∴f(

41、x)=

42、x-1

43、+

44、x-5

45、=∴f(x)min=4.(2)证明:由(1)知m=4.由柯西不等式得[1×g(a)+1×g(b)]2≤(12+12)[g2(a)+g2(b)],即[g(a)+g(b)]2≤2(a2+b2+2),又g(x)=>0,a2+b2=6,∴g(a)+g(b)≤4(当且仅当a=b=时取等号).即g(a)+g(b)≤m.3.解析　(1)不等式2f(x)<4-

46、x-1

47、等价于2

48、x+2

49、+

50、x-1

51、<4,即或或解得-

52、x-a

53、-f(x)=

54、x-a

55、-

56、x+2

57、≤

58、x-a-x-2

59、=

60、a+2

61、,所以

62、x-a

63、-f(

64、x)的最大值是

65、a+2

66、,又m+n=1(m>0,n>0),-4-所以+=(m+n)=++2≥2+2=4,所以+的最小值为4.要使

67、x-a

68、-f(x)≤+恒成立,则

69、a+2

70、≤4,解得-6≤a≤2.所以实数a的取值范围是[-6,2].4.解析　(1)由f=4--≥0,得+≤4.当x<-时,-x--x+≤4,解得x≥-2,∴-2≤x<-;当-≤x≤时,x+-x+≤4恒成立,∴-≤x≤;当x>时,x++x-≤4,解得x≤2,∴

71、+r≥,当且仅当===,即p=,q=,r=时,取等号.∴3p+2q+r的最小值为.-4-