2019高考数学考点突破——基本初等函数：二次函数与幂函数学案

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1、二次函数与幂函数【考点梳理】1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，顶点坐标为(h，k)；零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．(2)二次函数的图象与性质函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)y＝ax2＋bx＋c(a＜0)图象定义域R值域单调性在上减，在上增在上增，在上减对称性函数的图象关于x＝－对称2．幂函数(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)五种常见幂函数的图象与性质函数特征性质y＝xy＝x

2、2y＝x3y＝xy＝x－1图象定义域RRR{x

3、x≥0}{x

4、x≠0}值域R{y

5、y≥0}R{y

6、y≥0}{y

7、y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(－∞，0)减，(0，＋∞)增增增(－∞，0)和(0，＋∞)减8公共点(1,1)【考点突破】考点一、求二次函数的解析式【例1】已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，则此二次函数的解析式是．[答案]f(x)＝－4x2＋4x＋7[解析]法一(利用一般式)：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).由题意得解得∴所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7.法二(利用顶点式)：设f(x)＝a(x－

8、m)2＋n.∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线的图象的对称轴为x＝＝.∴m＝.又根据题意函数有最大值8，∴n＝8.∴y＝f(x)＝a2＋8.∵f(2)＝－1，∴a2＋8＝－1，解得a＝－4，∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.法三(利用零点式)：由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数的最大值是8，即＝8，解得a＝－4，∴所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.【类题通法】用待定系数法求二次函数的解析式，关键是灵活选取二次函数解析式的形式，选法如下8【对点训练】已知二

9、次函数f(x)的图象经过点(4，3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)的解析式是．[答案]f(x)＝x2－4x＋3[解析]∵f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，∴f(x)的对称轴为x＝2.又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，∴f(x)＝0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．又∵f(x)的图象过点(4，3)，∴3a＝3，a＝1.∴所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.考点二、二次函数的图象与性质【例2】如图是二次函数y＝ax2

10、＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a0，即b2>4ac，①正确；对称轴为x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，②错误；结合图象知，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a，又函数图象开口向下，∴a<0，∴5a<2a，即5a0，二次函数

11、f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　)[答案]D[解析]A项，∵a<0，－<0，∴b<0.又∵abc>0，∴c>0，由图知f(0)＝c<0，故A错；B项，∵a<0，－>0，∴b>0，又∵abc>0，∴c<0，而f(0)＝c>0，故B错；C项，∵a>0，－<0，∴b>0，又∵abc>0，∴c>0，而f(0)＝c<0，故C错；D项，∵a>0，－>0，∴b<0，又∵abc>0，∴c<0，由图知f(0)＝c<0，故选D.【例3】已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在区间[0，1]上的最大值为2，则a的值为(　　)A．2B．－1或－3C．2或－3D．－1或2[答案]D[解析]

12、函数f(x)＝－(x－a)2＋a2－a＋1图象的对称轴为x＝a，且开口向下，分三种情况讨论如下：①当a≤0时，函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在区间[0，1]上是减函数，∴f(x)max＝f(0)＝1－a，由1－a＝2，得a＝－1.②当0＜a≤1时，函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在区间[0，a]上是增函数，在[a，1]上是减函数，∴f(x)max＝f(a)＝－a2＋2a2＋1－a＝a2－a＋1，8由a2－a＋1＝2，解得a＝或a＝.∵0＜a≤1，∴两个值都不满足，舍去．③当a＞1时