2、a-1
3、+(b-4)2=0,求这个等腰三角形的周长.解:∵
4、a-1
5、+(b-4)2=0,∴a-1=0,且b-4=0,
6、∴a=1,b=4.当1为腰时,三边为1,1,4,由三角形三边关系定理可知,不能构成三角形;当4为腰时,三边为1,4,4,符合三角形三边关系定理,周长为1+4+4=9.故这个等腰三角形的周长是9.类型2 三角形的三条重要线段典例1 如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,点P为线段AD上的一个动点,PE⊥AD交BC的延长线于点E.(1)若∠B=35°,∠ACB=85°,求∠E的度数;5(2)当点P在线段AD上运动时,设∠B=α,∠ACB=β(β>α),求∠E的大小.(用含α,β的代数式表示)【解析】(1)∵∠B=35°,∠A
7、CB=85°,∴∠BAC=180°-∠B-∠ACB=60°.∵AD平分∠BAC,∴∠DAC=∠BAD=30°.∴∠ADC=∠B+∠BAD=65°.又∵PE⊥AD,∴∠DPE=90°,∴∠E=90°-∠ADC=25°.(2)∵∠B=α,∠ACB=β,∴∠BAC=180°-α-β.∵AD平分∠BAC,∴∠DAC=∠BAD=(180°-α-β).∴∠ADE=∠B+∠BAD=90°+α-β,又∵PE⊥AD,∴∠DPE=90°,∴∠E=90°-∠ADE=β-α.【针对训练】如图,在△ABC中,AD,AE,AF分别为△ABC的高线、
8、角平分线和中线.(1)写出图中所有相等的角和相等的线段;(2)当BF=8cm,AD=7cm时,求△ABC的面积.解:(1)∵AE是△ABC的角平分线,∴∠BAE=∠CAE.∵AD是△ABC的高,∴∠ADB=∠ADC=90°.∵AF是△ABC的中线,∴BF=CF.5图中所有相等的角和相等的线段为∠BAE=∠CAE,∠ADB=∠ADC=90°,BF=CF.(2)∵BF=CF,BF=8cm,AD=7cm,∴BC=2BF=2×8=16cm,∴S△ABC=BC·AD=×16cm×7cm=56cm2.答:△ABC的面积是56cm2.
9、类型3 三角形的内角和与外角的性质典例2 如图1,已知在△ABC中,∠ABC=∠ACB,D为BC边上一点,E为直线AC上一点,且∠ADE=∠AED.(1)求证:∠BAD=2∠CDE.(2)若点D在BC的反向延长线上,其他条件不变,如图2所示,(1)中的结论是否成立?【解析】(1)∵∠ADE=∠AED=∠ACB+∠CDE,∠ADC=∠ADE+∠CDE=∠BAD+∠ABC,∴∠ACB+∠CDE+∠CDE=∠BAD+∠ABC,又∵∠ABC=∠ACB,∴∠BAD=2∠CDE.(2)(1)中的结论仍然成立,理由如下:∵∠ACB=∠
10、AED+∠CDE,∠ABC=∠ADB+∠BAD,∠ABC=∠ACB,∴∠AED+∠CDE=∠ADB+∠BAD,又∵∠AED=∠ADE=∠ADB+∠CDE,∴∠ADB+∠CDE+∠CDE=∠ADB+∠BAD,∴∠BAD=2∠CDE.【针对训练】1.一个三角形的两个内角分别为55°和65°,则这个三角形的外角不可能是(D)5A.115°B.120°C.125°D.130°2.三角形的一个外角等于与它不相邻的内角的4倍,等于与它相邻的一个内角的2倍,则这个三角形各角的度数为(B)A.45°,45°,90°B.30°,60°,9
11、0°C.25°,25°,130°D.36°,72°,72°3.当三角形中的一个内角α是另一个内角β的两倍时,我们定义此三角形为“特征三角形”,其中α称为“特征角”.(1)若一个“特征三角形”的“特征角”为100°,则这个“特征三角形”的最小内角的度数为 30° ; (2)若一个“特征三角形”恰好是直角三角形,则这个“特征三角形”的“特征角”的度数为 90°或60° ; (3)根据以上结论判断一个“特征三角形”的“特征角”α的度数的取值范围为 0°<α<120° . 类型4 多边形及其内角和典例3 如图,在六边形ABCDE
12、F中,AB⊥AF,BC⊥DC,∠E+∠F=260°,求两外角和∠α+∠β的度数.【解析】∵AB⊥AF,BC⊥DC,∴∠A+∠C=180°.∵∠E+∠F=260°,∴∠EDC+∠ABC=(6-2)×180°-180°-260°=280°,∴∠α+∠β=360°-(∠EDC+∠ABC)=80°.【针对训练】1.如图,小明
