高中数学初高中衔接读本专题5.2三角形的重心、垂心、外心和内心高效演练学案

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1、第2讲三角形的重心、垂心、外心和内心三角形是最重要的基本平面图形，它包含了丰富的知识，也蕴含了深刻的思想，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题。三角形与高中三角函数、向量、解三角形及立体几何等部分都有密切的联系，因而扎实掌握三角形的相关知识是进一步学习的基础。初中阶段大家已经学习了三角形边上中线、高线、垂直平分线及内角平分线的一些性质。如三角形角平分线上的点到这个角两边的距离相等；三角形边的垂直平分线上的点到这条边两个端点的距离相等，诸如此类。在高中学习中，还会涉及到三角形三条中线交点（重心）、三条高线交点（垂心）、三条边的垂直平分线交

2、点（外心）及三条内角平分线交点（内心）的问题，因而有必要进一步了解它们的性质。【知识梳理】三角形的四心(1)角平分线：三角形的三条角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心，它到三角形各边的距离相等．(2)高线：三角形的三条高线交于一点，这点叫做三角形的垂心．(3)中线：三角形的三条中线交于一点，这点叫做三角形的重心．(4)垂直平分线：三角形的三条垂直平分线交于一点，这点叫做三角形的外心，外心到三角形三个顶点的距离相等．【高效演练】1．如图所示，在△ABC中，点P是△ABC的内心，则∠PBC＋∠PCA＋∠PAB＝　度．2．设为的重心，且，，，则的

3、面积为　．6【解析】由，，，有，知两中线，垂直．于是．【答案】183．已知、分别为锐角的垂心和外心，，垂足为，则________．【解析】可延长交的外接圆于，证明四边形为平行四边形即可．【答案】2∶14.如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，在OB上任取一点P，连结AP，过D作AP垂线交OA于Q点．求证：OP＝OQ．【解析】在△APD中，由AO⊥PD，DQ⊥AP可知，点Q是△APD的垂心，连结PQ，必有PQ⊥AD．∵AB⊥AD，∴PQ∥BA，∴又∵OA＝OB，∴OP＝OQ．5.如图3，在△ABC中，AB＝AC，过BC的中点D作DE

4、⊥AC于点E，G是DE的中点，求证：AG⊥BE．66.求证：三角形的三条高交于一点.已知中，AD与BE交于H点.求证.证明以CH为直径作圆，在以CH为直径的圆上，.同理，E、D在以AB为直径的圆上，可得.，又与有公共角，，即.7.（1）设G是△ABC的重心，证明：△GBC，△GAC，△GAB的面积相等．（2）利用（1）的结论，证明：三角形顶点到重心的距离，等于重心到对边中点的距离的2倍．6【分析】（1）设三条中线为AD，BE，CF，三中线交于G点，G是重心，由同底等高得到S△GBC=2S△GCD，S△GAC=2S△GCD，由此能证明△GBC，

5、△GAC，△GAB的面积相等．（2）设三条中线为AD，BE，CF，三中线交于G点，G是重心，由S△GBC=S△GAC，S△GBC=2S△GCD，得到S△GAC=2S△GCD，由此能证明三角形顶点到重心的距离，等于重心到对边中点的距离的2倍．（2）证明：设三条中线为AD，BE，CF，三中线交于G点，G是重心，∵△GBC，△GAC，△GAB的面积相等，∴S△GBC=S△GAC，∵BD=CD，∴S△GBC=2S△GCD，∴S△GAC=2S△GCD，∵△AGC和△DGC在分别以AG和DG为底时，高都是点C到边AD的距离，∴AG=2GD，同理可证CG=

6、2GF，BG=2GE，∴三角形顶点到重心的距离，等于重心到对边中点的距离的2倍．【点评】本题考查三角形面积相等的证明，考查三角形重心定理的证明，解题时要注意三角形面积公式的合理运用68.已知三角形的三边a，b，c，三角形的重心到外接圆的距离为d，外接圆半径为R，求证：a2+b2+c2+9d2=9R2．【分析】以△ABC的外心为原点建立坐标系，可令A、B、C的坐标依次是：（Rcosα，Rsinα）、（Rcosβ，Rsinβ）、（Rcosγ，Rsinγ）．令AB中点为D、△ABC的重心为G（m，n），求出m，n，进而可证明a2+b2+c2+9d2

7、=9R2．于是：a2=（Rcosβ﹣Rcosγ）2+（Rsinβ﹣Rsinγ）2=R2（2﹣2cosβcosγ﹣2sinβsinγ）b2=（Rcosα﹣Rcosγ）2+（Rsinα﹣Rsinγ）2=R2（2﹣2cosαcosγ﹣2sinαsinγ），c2=（Rcosα﹣Rcosβ）2+（Rsinα﹣Rsinβ）2=R2（2﹣2cosαcosβ﹣2sinαsinβ）．9d2=9[（m﹣0）2+（n﹣0）2]=9{[R（cosα+cosβ+cosγ）﹣0]2+[R（sinα+sinβ+sinγ）﹣0]2}=R2[（cosα+cosβ+cosγ）2

8、+（sinα+sinβ+sinγ）2]=R2（3+2cosαcosβ+2cosβcosγ+2cosαcosγ+2sinαsinβ+2sinβsinγ+2sinαsi