高中数学初高中衔接读本专题2.2根与系数的关系韦达定理）精讲深剖学案

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1、第2讲根与系数的关系（韦达定理）现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着重要应用．本专题将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等进行讲述。【知识梳理】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）一元二次方程的两个根为：所以：，定理：如果一元二次方程的两个根为，那么：说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”．上述定理成立的前提是．【典例解析】1.已知方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值．【分析

2、】由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值．【解析】解法一：∵2是方程的一个根，∴5×22＋k×2－6＝0，∴k＝－7．所以，方程就为5x2－7x－6＝0，解得x1＝2，x2＝－．所以，方程的另一个根为－，k的值为－7．4解法二：设方程的另一个根为x1，则2x1＝－，∴x1＝－．由（－）＋2＝－，得k＝－7．所以，方程的另一个根为－，k的值为－7．【解题反思】本题

3、两种解法进行比较，解法一将已知的根代入方程求解出k的值，再求另一个根；而解法二直接运用韦达定理，建立二元一次方程求解更加高效。2.若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根．（1）求的值；（2）求的值；（3）x13＋x23．【解析】∵x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根，∴，．（1）∵

4、x1－x2

5、2＝x12+x22－2x1x2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝＝＋6＝，∴

6、x1－x2

7、＝．（2）．（3）x13＋x23＝(x1＋x2)(x12－x1x2＋x22)＝(x1＋x2)[(x1＋x2)2－3x1x2]＝(－)×[(－)2－3×(

8、)]＝－．【解题反思】为了解题简便，我们探讨出一般规律：设分别是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根，则运用根与系数的关系以下变形需掌握；①②③④；或4【变式训练】1.若是方程的两个根，试求下列各式的值；（1）；（2）；（3）；（4）；【分析】本题若运用求根公式先求解，运算量太大，借助韦达定理是一条更加高效的解题思路；【点评】掌握韦达定理的常见变形可帮助我们提升解题速度。2.已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值．【分析】本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得

9、到关于m的方程，从而解得m的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．【解析】设x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得；x1＋x2＝－2(m－2)，x1·x2＝m2＋4．∵x12＋x22－x1·x2＝21，∴(x1＋x2)2－3x1·x2＝21，即[－2(m－2)]2－3(m2＋4)＝21，化简，得m2－16m－17＝0，解得；m＝－1，或m＝17．当m＝－1时，方程为x2＋6x＋5＝0，Δ＞0，满足题意；4当m＝17时，方程为x2＋30x＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去．综上，m＝17．【点

10、评】（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的值，取满足条件的m的值即可．（2）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或大于零．因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根．3.已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．【分析】我们可以设出这两个数分别为x，y，利用二元方程求解出这两个数．也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解．解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程；x2－4x－12＝0的两个根．解这个方程，得；x1＝－2，x2＝6

11、．所以，这两个数是－2和6．【点评】从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷．4