高中数学初高中衔接读本专题1.2十字相乘法精讲深剖学案

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1、第2讲十字相乘法因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形。在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用，是继续高中数学学习的一项基本技能。因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等。【知识梳理】1.乘法公式：初中已经学习过了下列乘法公式：（1）平方差公式；（2）完全平方公式．（3）立方和公式；（4）立方差公式；2．把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式．3．因式分解与整式乘法的区别和联系：因式分解

2、与整式乘法是互逆关系．（1）整式乘法是把几个整式相乘，化为一个多项式；（2）因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘．4．因式分解的思路：（1）先看各项有没有公因式，若有，则先提取公因式；（2）再看能否使用公式法；（3）用分组分解法，即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的；（4）因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积，否则不是因式分解；（5）因式分解的结果必须进行到每个因式在要求的范围内（比如有理数范围内）不能再分解为止．5．因式分解的解题步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式，完全平方公式）、三检查（彻底分解）．【精讲深剖】1．对于二次项系数为1的

3、二次三项式型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③一次项系数是常数项的两个因数之和。即；注：这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数，通常借助画十字交叉线的办法来确定，故称为十字相乘法。4【典例解析】把下列各式因式分解：(1)；(2)；(3)；【解题反思】当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因数的符号与一次项的系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同。【变式训练】1.把下列各式因式分解

4、：（1）__________________________________________________。（2）__________________________________________________。（3）__________________________________________________。（4）__________________________________________________。（5）__________________________________________________。（6）___________

5、_______________________________________。（7）__________________________________________________。（8）__________________________________________________。（9）若则，。4（10）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；【点评】注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解。2．对于一般二次三项式型的因式分解因为，．

6、反过来，就得到；我们发现，二次项系数分解成，常数项分解成，把写成，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到，如果它正好等于的一次项系数，那么就可以分解成，其中位于上一行，位于下一行。【典例解析】把下列各式因式分解：(1)；(2)【解析】：(1)(2)4【解题反思】用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号。【变式训练】1.把下列各式分解因式：(1)；(2)；(3)；(4)；（5）；(6)【

7、点评】对于二次项系数不为1的二次三项式运用十字相乘法分解，需要更多尝试，达到熟练掌握。4