高中数学初高中衔接读本专题4.2一元二次不等式的解法高效演练学案

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1、第2讲一元二次不等式的解法本专题在初中学习方程、不等和函数的基础上,根据高中学习的需要,共同学习简单的二次方程组及一元二次不等式的解法。【知识梳理】一元二次不等式的解:函数、方程与不等式Δ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根有两相异实根x1,x2(x1<x2)有两相等实根x1=x2=-无实根ax2+bx+c>0(a>0)的解集xx2     x≠-     一切实数ax2+bx+c<0(a>0)的解集x1<x<x2无解无解   今后,我们在解一元二次不等式时,如果二次项系

2、数大于零,可以利用上面的结论直接求解;如果二次项系数小于零,则可以先在不等式两边同乘以-1,将不等式变成二次项系数大于零的形式,再利用上面的结论去解不等式.【高效演练】1.下列哪个不等式是一元二次不等式(  )A.x2+x<﹣1B.x2++1<0C.x2++1<0D.x+1<0【解析】只有是一元二次不等式,而+1<0含有根式,没有定义次数,0是分式不等式,不定义次数,x+1<0是一元一次不等式.故选:A.5【答案】A2.不等式的解集是()A.或B.或C.D.【解析】由,可得;,所以原不等式的解集为。【答案】C3.一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集

3、为R,则必有(  )A.B.C.D.【分析】由题意,结合图象与二次函数的性质得到答案.4.一元二次不等式2kx2+kx﹣<0对一切实数x都成立,则k的取值范围是(  )A.B.C.D.【分析】由二次项系数小于0,对应的判别式小于0联立求解.【解答】解:由一元二次不等式2kx2+kx﹣<0对一切实数x都成立,则,解得﹣3<k<0.综上,满足一元二次不等式2kx2+kx﹣<0对一切实数x都成立的k的取值范围是5【答案】A【点评】本题考查了一元二次不等式的解法,考查了分类讨论的数学思想方法,训练了“三个二次”的结合解题。5.已知二次函数y=﹣x2+2x+m的

4、部分图象如图所示,则关于x的一元二次不等式﹣x2+2x+m<0的解集为 .【分析】根据二次函数的对称性求出二次函数图象与x轴的另一个交点,再写出x轴下方部分的x的取值范围即可.【点评】本题考查了二次函数与不等式,主要利用了二次函数的对称性以及数形结合的思想,难点在于先求出函数图象与x轴的另一个交点坐标.6.解下列不等式:(1)x2-7x+12>0;(2)x2-2x+1<0;(3)-x2-2x+3≥0;(4)x2-2x+2>0.【解析】(1)方程x2-7x+12=0的解为x1=3,x2=4.而y=x2-7x+12的图象开口向上,可得原不等式x2-7x+1

5、2>0的解集是x<3或x>4.(2)方程x2-2x+1=0有两个相同的解x1=x2=1.而y=x2-2x+1的图象开口向上,可得原不等式x2-2x+1<0的解集为无解(3)不等式两边同乘以-1,原不等式可化为x2+2x-3≤0.方程x2+2x-3=0的解为x1=-3,x2=1.而y=x2+2x-3的图象开口向上,可得原不等式-x2-2x+3≥0的解集是-3≤x≤1.5(4)因为Δ<0,所以方程x2-2x+2=0无实数解,而y=x2-2x+2的图象开口向上,可得原不等式x2-2x+2>0的解集为一切实数。7.已知一元二次不等式x2﹣ax﹣b<0的解集是1

6、<x<3;(1)求实数a,b的值;(2)解不等式.【分析】(1)由题意可得1和3是x2﹣ax﹣b=0的实数根,利用韦达定理求得a和b的值.(2)不等式即>1,即>0,即(x﹣3)•(x+7)>0,解一元二次不等式,求得x的范围.【解答】解:(1)因为不等式一元二次不等式x2﹣ax﹣b<0的解集是1<x<3;∴1和3是x2﹣ax﹣b=0的实数根,∴1+3=a,1×3=﹣b,即a=4,b=﹣3.(2)不等式>1,即为>1,即>0,即(x﹣3)•(x+7)>0,∴x>3,或x<﹣7,故原不等式的解集为x>3或x<﹣7.【点评】本题主要考查一元二次不等式、分式

7、不等式的解法,体现了转化的数学思想,属于基础题.8.不等式x2-ax-b<0的解集为20的解集为.【解析】由题意知2,3是方程x2-ax-b=0的解,∴∴∴不等式bx2-ax-1>0为-6x2-5x-1>0,6x2+5x+1<0,∴解集为9.解关于x的不等式:ax2-(a+1)x+1<0【解析】若a=0,原不等式-x+1<0x>1;若a<0,原不等式或;若a>0,原不等式,其解的情况应由与1的大小关系决定,故(1)当a=1时,原不等式无解;(2)当a>1时,原不等式;55

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