高中数学第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式（1）学案新人教a版

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1、§1.3　三角函数的诱导公式(一)学习目标　1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程(难点).3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题(重点、难点)．知识点　诱导公式二、三、四1．诱导公式二终边关系图示角π＋α与角α的终边关于原点对称公式sin(π＋α)＝－sin_αcos(π＋α)＝－cos_αtan(π＋α)＝tan_α2．诱导公式三终边关系图示角－α与角α的终边关于x轴对称公式sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，tan(－α)＝－tanα3

2、．诱导公式四终边关系图示角π－α与角α的终边关于y轴对称公式sin(π－α)＝sin_αcos(π－α)＝－cos_αtan(π－α)＝－tan_α【预习评价】　(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)诱导公式中角α是任意角．(　　)11(2)sin(α－π)＝sinα.(　　)(3)cosπ＝－.(　　)提示　(1)×，正、余弦函数的诱导公式中，α为任意角，但是正切函数的诱导公式中，α的取值必须使公式中角的正切值有意义．(2)×，sin(α－π)＝sin[－(π－α)]＝－sin(π－α)＝－sinα．(3)√

3、，cos＝cos(π＋)＝－cos＝－．题型一　给角求值问题【例1】　(1)sin750°＝________；cos(－2040°)＝________.；解析　sin750°＝sin(2×360°＋30°)＝sin30°＝；cos(－2040°)＝cos2040°＝cos(5×360°＋240°)＝cos240°＝cos(180°＋60°)＝－cos60°＝－．答案　　－(2)计算：sin(－)－cos(－)＝________．解析　原式＝－sin－cos＝－sin(4π＋π＋)－cos(2π＋π＋)＝sin＋c

4、os＝＋＝1．答案　1规律方法　利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤(1)“负化正”：用公式一或三来转化．(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角．(3)“小化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角．(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值．【训练1】　求下列各三角函数式的值：(1)sin1320°；(2)cos；(3)tan(－945°)．解　(1)方法一　sin1320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin240°＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－．11方法二　sin

5、1320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)＝－sin(180°－60°)＝－sin60°＝－．(2)方法一　cos＝cos＝cos＝cos(π＋)＝－cos＝－．方法二　cos＝cos＝cos＝－cos＝－．(3)tan(－945°)＝－tan945°＝－tan(225°＋2×360°)＝－tan225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan45°＝－1．题型二　化简求值问题【例2】　(1)计算：cos＋cos＋cos＋cos＋cos＋cos＝________；解析　原式＝cos＋cos

6、＋cos＋cos(π－)＋cos(π－)＋cos(π－)＝cos＋cos＋cos－cos－cos－cos＝0．答案　0(2)化简：．解　原式＝＝·＝1．规律方法　三角函数式化简的常用方法(1)合理转化：①将角化成2kπ±α，π±α，k∈Z的形式．②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数．(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数．【训练2】　化简下列各式：(1)；(2)．解　(1)原式＝11＝＝－＝－tanα．(2)原式＝＝＝＝＝－1.典例迁移　题型三　给值或式求值问题【例3】

7、　(1)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sinα＝，则sinβ＝________．解析　α与β的终边关于y轴对称，则α＋β＝π＋2kπ，k∈Z，∴β＝π－α＋2kπ，k∈Z.∴sinβ＝sin(π－α＋2kπ)＝sinα＝.答案　(2)已知cos(－α)＝，求cos(＋α)－sin2(α－)的值．解　因为cos(＋α)＝cos[π－(－α)]＝－cos(－α)＝－，sin2(α－)＝sin2(－α)＝1－cos2(－α)＝1－()2＝，所以cos(＋α)－sin2(α

8、－)＝－－＝－．【迁移1】　将例3(2)题中的“－”改为“＋”，“＋”改为“－”，其他不变，应如何解答？解　由题意知cos(＋α)＝，求cos(－α)＋sin2(α＋)的值．因为cos(－α)＝cos[π－(＋α)]＝－cos(＋α)＝－，sin2(α＋)＝1－cos2(＋α)＝1－()2＝，所以，cos(－α)＋sin2(α＋)＝－＋＝．【迁移2】　例3(2)题中的条件