高中数学初高中衔接读本专题3.2二次函数的最值问题精讲深剖学案

《高中数学初高中衔接读本专题3.2二次函数的最值问题精讲深剖学案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第2讲二次函数的最值二次函数是初中函数的主角，所蕴含的函数性质丰富，也是高中学习的重要基础．当自变量在某个范围内取值时，求函数的最大（小）值，这类问题称为最值问题问题．最值问题在实际生活中也有广阔的应用．【知识梳理】1.二次函数解析式的三种形式：一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0).顶点式：y＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).零点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.2.二次函数的图象和性质解析式y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)图象对称性函数的图象关于x＝－对称3.二次函数的最值（1）.当a＞0时，

2、函数y＝ax2＋bx＋c图象开口向上；顶点坐标为，对称轴为直线x＝－；当x＜时，y随着x的增大而减小；当x＞时，y随着x的增大而增大；当x＝时，函数取最小值y＝．（2）.当a＜0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口向下；顶点坐标为，对称轴为直线x＝－；当x＜时，y随着x的增大而增大；当x＞时，y随着x的增大而减小；当x＝时，函数取最大值y＝．【典例解析】求下列函数的最值（1）当时，求函数的最大值和最小值；6（2）当时，求函数的最大值和最小值。【分析】作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量的值．【解析】（1

3、）作出函数的图象．当时，，当时，．（2）作出函数的图象．当时，，当时，．【解题反思】由上述两例可以看到，二次函数在自变量的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：【变式训练】1.当时，求函数的取值范围．6【点评】本题看似不是最值问题，但只要求出了最值，函数的取值范围自然可确定。2.当时，求函数的最小值(其中为常数)．【分析】由于所给的范围随着的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．(3)当对称轴在所给范围右侧．即时：当时

4、，．6综上所述：【点评】本题所给的取值范围不确定，但函数确定，即对称轴固定，可分情况讨论取值相对于对称轴的位置即：在轴的左、右、包含对称轴三种情况求出最值，为轴定取值变问题。3.提出问题：当x＞0时如何求函数y=x+的最大值或最小值？分析问题：前面我们刚刚学过二次函数的相关知识，知道求二次函数的最值时，我们可以利用它的图象进行猜想最值，或利用配方可以求出它的最值．例如我们求函数y=x﹣2（x＞0）的最值时，就可以仿照二次函数利用配方求最值的方法解决问题；y=x﹣2=（）2﹣2﹣2+1﹣1=（﹣1）2﹣1即当x=1时，y有最小值为﹣1解决问题借鉴我们已有的研究函数的经验，探索函数y=x

5、+（x＞0）的最大（小）值．（1）实践操作：填写下表，并用描点法画出函数y=x+（x＞0）的图象：x…1234…y……（2）观察猜想：观察该函数的图象，猜想当x=　　时，函数y=x+（x＞0）有最　　值（填“大”或“小”），是　　．（3）推理论证：利用上述例题，请你尝试通过配方法求函数y=x+（x＞0）的最大（小）值，以证明你的猜想．知识能力运用：直接写出函数y=﹣2x﹣（x＞0）当x=　　时，该函数有最　　值（填“大”或“小”），是　　．6【分析】（1）由x的值计算出y的值，填表即可；用描点法画出图象即可；（2）用配方法得出y=x+=（﹣）2+2，即可得出结果；（3）用配方法得出y

6、=﹣2x﹣=﹣（﹣）2﹣2，即可得出结果．【解析】（1）当x=时，y=x+=+4=4；当x=时，y=x+=+3=3；当x=时，y=x+=+2=2；当x=1时，y=x+=1+1=2；当x=2时，y=x+=2+=2；当x=3时，y=x+=3+=3；当x=4时，y=x+=4+=4；填表如下：x…1234…y…2…函数图象如图所示：6【点评】本题是函数综合题目，考查了用描点法画函数的图象、函数的最值问题、配方法的应用；本题综合性强，难度较大，用配方法求出函数的最值是解决问题的关键．6