高中数学初高中衔接读本专题4.2一元二次不等式的解法精讲深剖学案

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1、第2讲一元二次不等式的解法本专题在初中学习方程、不等和函数的基础上，根据高中学习的需要，共同学习简单的二次方程组及一元二次不等式的解法。问题1：二次函数y＝x2－x－6的对应值表与图象如下：x－3－2－101234y60－4－6－6－406观察：由对应值表及函数图象可知当x＝－2，或x＝3时，y＝0，即x2－x＝6＝0；当x＜－2，或x＞3时，y＞0，即x2－x－6＞0；当－2＜x＜3时，y＜0，即x2－x－6＜0．思考：这就是说，如果抛物线y=x2－x－6与x轴的交点是(－2，0)与(3，0)，那么一元二次方程x2－x－6＝0的解就是x1＝－2，x2＝3；同样，结

2、合抛物线与x轴的相关位置，可以得到一元二次不等式x2－x－6＞0的解是x＜－2，或x＞3；一元二次不等式x2－x－6＜0的解是－2＜x＜3．上例表明：由抛物线与x轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集．问题2：对于一般的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)怎样解呢？【归纳总结】一元二次不等式的解：函数、方程与不等式Δ＞0Δ＝0Δ＜05二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两相异实根x1,x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－无实根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集x

3、1或x>x2　　　　　x≠－　　　　　一切实数ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集x1＜x＜x2无解无解　　　今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如果二次项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘以－1，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的结论去解不等式．【典例解析】解下列一元二次不等式：（1）x2＋2x－3≤0；（2）x－x2＋6＜0；（3）4x2＋4x＋1≥0；（4）x2－6x＋9≤0；（5）－4＋x－x2＜0．（4）整理，得(x－3)2≤0.由于当x＝3时，(x－3)2＝0成立；而对任意的实数x，(x－3)

4、2＜0都不成立，5∴原不等式的解为x＝3．（5）整理，得x2－x＋4＞0．Δ＜0，所以，原不等式的解为一切实数．【解题反思】注意一元二次不等式的解题步骤为一看（二次项系数的正负）；二判（Δ的情况）；三算（有根求根）；四写出解集。【变式训练】1.解下列不等式：（1）；（2）；【解析】（1）原不等式可化为，∵，方程的两根是，∴原不等式的解集为．（2）原不等式等价于；∴原不等式的解集为．2.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标（﹣1，﹣3.2）及部分图象（如图所示），其中图象与横轴的正半轴交点为（2，0），由图象可知：①当　时，函数值随着x的增大而减小；②

5、关于x的一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解是　　．【分析】①根据二次函数的开口方向以及对称轴得出答案即可；②利用关于x的一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解，即为：y＞时，求出x的取值范围求出即可．【解析】∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标（﹣1，﹣3.2），图象与横轴的正半轴交点为（2，0），∴图象的对称轴为：x=﹣1，图象与横轴的负半轴交点为：（﹣4，0）；5①∵图象开口向上，∴a＞0，∵图象的对称轴为：x=﹣1，∴当x＜﹣1时，函数值随着x的增大而减小；②关于x的一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解即为：y＞时，求出x的取值范围：x＞2

6、或x＜﹣4．故答案为：①＜﹣1；②x＞2或x＜﹣4．【点评】主要考查了利用函数图象求自变量的取值范围以及二次函数的增减性等知识，根据图象得出是解题关键3.已知不等式的解是求不等式的解．【点评】本例利用了方程与不等式之间的相互关系来解决问题．4.关于x的一元二次不等式2kx2+kx﹣＜0的解集为R，求实数k的取值范围．5【分析】（1）由题意得，由此能求出实数k的取值范围．【解析】由题意得：，不等式（2）化作：k2+3k＜0，解得：﹣3＜k＜0．则实数k的取值范围是﹣3＜k＜0．【点评】已知不等式解集的情况，求参数。可通过根的判别式来建立不等式求参数值。5.解关于的一元

7、二次不等式为实数).【分析】对于一元二次不等式,按其一般解题步骤,首先应该将二次项系数变成正数,本题已满足这一要求,欲求一元二次不等式的解,要讨论根的判别式的符号,而这里的是关于未知系数的代数式,的符号取决于未知系数的取值范围，因此,再根据解题的需要,对的符号进行分类讨论.【解析】由,①当方程的解为；所以,原不等式的解集为或；②当Δ＝0，即a＝±2时，原不等式的解为x≠－；综上,当a≤－2，或a≥2时，为原不等式的解。【点评】求解，由于含有参数，使的值不确定，故需要对分三种情况处理。5