高中数学初高中衔接读本专题5.2三角形的重心、垂心、外心和内心精讲深剖学案

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1、第2讲三角形的重心、垂心、外心和内心三角形是最重要的基本平面图形，它包含了丰富的知识，也蕴含了深刻的思想，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题。三角形与高中三角函数、向量、解三角形及立体几何等部分都有密切的联系，因而扎实掌握三角形的相关知识是进一步学习的基础。初中阶段大家已经学习了三角形边上中线、高线、垂直平分线及内角平分线的一些性质。如三角形角平分线上的点到这个角两边的距离相等；三角形边的垂直平分线上的点到这条边两个端点的距离相等，诸如此类。在高中学习中，还会涉及到三角形三条中线交点（重心）、三条高线交点（垂心）、三条边的垂直平分线交点（外心）及三条内角平分线交点（内心）的

2、问题，因而有必要进一步了解它们的性质。【知识梳理】三角形的四心(1)角平分线：三角形的三条角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心，它到三角形各边的距离相等．(2)高线：三角形的三条高线交于一点，这点叫做三角形的垂心．(3)中线：三角形的三条中线交于一点，这点叫做三角形的重心．(4)垂直平分线：三角形的三条垂直平分线交于一点，这点叫做三角形的外心，外心到三角形三个顶点的距离相等．【典例解析】求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1.已知：D、E、F分别为△ABC三边BC、CA、AB的中点，求证：AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2：1.【解析】证明：连

3、结DE，设AD、BE交于点G，D、E分别为BC、AE的中点，则DE//AB，且，∽，且相似比为1：2，.6设AD、CF交于点，同理可得，则与重合，AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成.【解题反思】三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.【变式训练】求证重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。已知：为的重心,求证：【分析】可联系重心的性质，重心为中线的三等分点即；,在运用等底，高成比例完成证明；【点评】将重心的性质借助相似比，推出了重心关于三角形面积的性质。同时应当想到它还有其它性质。【典例解析】已知的三边

4、长分别为，I为的内心，且I在的边上的射影分别为，求证：.6【解析】证明：作的内切圆，则分别为内切圆在三边上的切点，为圆的从同一点作的两条切线，，同理，BD=BF，CD=CE.；即.【解题反思】三角形的三条角平分相交于一点，这个交点称为三角形的内心。内心到三角形三边的距离相等。【变式训练】1.若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形.已知：O为三角形ABC的重心和内心.求证：三角形ABC为等边三角形.【解析】证明：如图，连AO并延长交BC于D.O为三角形的内心，故AD平分，（角平分线性质定理）O为三角形的重心，D为BC的中点，即BD=DC.，即.同理可得，AB=BC.

5、为等边三角形.6【点评】等边三角形具有四心合一的性质。【变式训练】2.在三角形ABC中，G为重心，I为内心，若AB=6，BC=5，CA=4，求的值．【分析】根据三角形重心性质可得：3GI2=AI2+BI2+CI2﹣（AG2+BG2+CG2），求得GI后代入求值即可．【点评】本题考查了三角形的五心的知识，解题的关键是了解三角形重心性质：3GI2=AI2+BI2+CI2﹣（AG2+BG2+CG2）．【典例解析】在中，为垂心，，，，为外接圆半径，求证:．6注此性质的证明，或由勾股定理有等，即可．【解题反思】三角形的三条高线相交于一点为垂心，通过探究也具有丰富的性质。【变式训练】设的外接圆

6、半径为，则求证：，，【解析】证明当为锐角三角形时，如图，6显然有，从而．在中，，故．同理，，．当为钝角三角形时，不妨设为钝角．此时，只需调换图中字母与，与的位置，图形不变，即得，，．当为直角三角形时，不妨设为直角，此时，垂心与，，重舍．显然，，．6