高中数学第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式（2）学案新人教a版

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1、§1.3　三角函数的诱导公式(二)学习目标　1.掌握诱导公式五、六的推导(难点).2.能够应用三角函数的诱导公式解决简单的求值、化简与证明问题(重点)．知识点　诱导公式五、六1．诱导公式五、六2．公式五和公式六的语言概括(1)函数名称：±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值．(2)符号：函数值前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．(3)作用：利用诱导公式五或六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化．【预习评价】　(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)诱导公式五、六中的角α只能是锐角．(　　)(2)诱导公式五、六与诱导公式一～四的区别在于函数名称要改变．(　　)(3)s

2、in(－α)＝±cosα.(　　)提示　(1)×，诱导公式五、六中的角α是任意角．(2)√，由诱导公式一～六可知其正确．(3)×，当k＝2时，sin(－α)＝sin(π－α)＝sinα．题型一　利用诱导公式化简、求值【例1】　(1)已知cos＝，≤α≤，求sin的值；解　∵α＋＝＋，∴sin(α＋)＝sin＝cos＝．11(2)化简：．解　原式＝＝tanα．规律方法　求值问题中角的转化方法【训练1】　已知cos(－α)＝，求下列各式的值：(1)sin(＋α)；(2)sin(α－)．解　(1)sin(＋α)＝sin[－(－α)]＝cos(－α)＝．(2)sin(α－)＝sin[－－(－α)]＝

3、－sin[＋(－α)]＝－cos(－α)＝－．题型二　利用诱导公式证明恒等式【例2】　求证：＝－tanα．证明　左边＝＝＝＝＝－＝－tanα＝右边．∴原等式成立．规律方法　证明等式的常用方法利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：11(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简．(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子．(3)针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除差异．【训练2】　求证：＝．证明　左边＝＝＝＝＝＝．右边＝＝．∴左边＝右边，故原等式成立.典例迁移　题型三　诱导公式的综合应用【例3】　已知cosα＝－，且α为第三象限角．(1)

4、求sinα的值；(2)求f(α)＝的值．解　(1)因为α为第三象限角，所以sinα＝－＝－．(2)f(α)＝＝tanα·sinα＝·sinα＝＝(－)2×(－)＝－．【迁移1】　本例条件不变，求f(α)11＝的值．解　f(α)＝＝sinα＝－．【迁移2】　本例条件中“cosα＝－”改为“α的终边与单位圆交于点P(m，)”，“第三象限”改为“第二象限”，试求的值．解　由题意知m2＋()2＝1，解得m2＝，因为α为第二象限角，故m<0，所以m＝－，所以sinα＝，cosα＝－．原式＝＝＝－．规律方法　用诱导公式化简求值的方法(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱

5、导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少．(2)对于π±α和±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而运用后一套公式必须变名．课堂达标1．sin165°等于(　　)A．－sin15°B．cos15°C．sin75°D．cos75°解析　sin165°＝sin(90°＋75°)＝cos75°．答案　D2．已知sin(α＋)＝，则cos(－α)的值为(　　)11A．B．C．D．－解析　cos(－α)＝cos[－(α＋)]＝sin(α＋)＝．答案　C3．代数式sin2(A＋45°)＋sin2(A－45°)的化简结果是________．解析　原式＝sin2(A＋45°)

6、＋sin2(45°－A)＝sin2(A＋45°)＋cos2(A＋45°)＝1．答案　14．若cosα＝，且α是第四象限角，则cos(α＋)＝________．解析　由题意得sinα＝－＝－，所以cos(α＋)＝－sinα＝．答案　5．已知sin(5π－θ)＋sin＝，求sin4＋cos4的值．解　∵sin(5π－θ)＋sin＝sin(π－θ)＋sin＝sinθ＋cosθ＝，∴sinθcosθ＝[(sinθ＋cosθ)2－1]＝＝，∴sin4＋cos4＝cos4θ＋sin4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－2×2＝．课堂小结111．学习了本节知识后，连同前面的诱导公

7、式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”的诱导公式．当k为偶数时，得α的同名函数值；当k为奇数时，得α的异名函数值，然后前面加一个把α看成锐角时原函数值的符号．2．诱导公式反映了各种不同形式的角的三角函数之间的相互关系，并具有一定的规律性，“奇变偶不变，符号看象限”，是记住这些公式的有效方法．3．诱导公式是三角变换的基本公式，其中角α可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握、灵活变通．基础过关1．