高中数学第三章三角函数3.2任意角的三角函数3.2.1任意角三角函数的定义（一）学案湘教版

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1、3．2.1　任意角三角函数的定义(一)[学习目标]　1.理解任意角的三角函数的定义.2.掌握三角函数在各个象限的符号．[知识链接]在初中，我们已经学过锐角三角函数．如图，在Rt△ABC中，设A对边为a，B对边为b，C对边为c，锐角A的正弦，余弦，正切分别是什么？答　锐角A的正弦，余弦，正切依次为：sinA＝，cosA＝，tanA＝.[预习导引]1．三角函数的定义(1)正弦、余弦、正切如图，在α的终边上任取一点P(x，y)，设OP＝r(r≠0)．定义：sinα＝，cosα＝，tanα＝，分别称为角的正弦、余弦、正切．依照上述定义，对于每一个确定的角α，都分别有唯一确定的正弦值、余

2、弦值与之对应：当a≠2kπ±(k∈Z)时，它有唯一的正切值与之对应，因此这三个对应法则都是以α为自变量的函数，分别叫做角α的正弦函数、余弦函数和正切函数．(2)正割、余割、余切角α的正割：secα＝＝；角α的余割：cscα＝＝；角α的余切：cotα＝＝.这就是说，secα，cscα，cotα分别是α的余弦、正弦和正切的倒数．由上述定义可知，当α的终边在y轴上，即α＝kπ＋(k∈Z)时，tanα，secα没有意义；当α的终边在x轴上，即α＝kπ(k∈Z)时，cotα，cscα没有意义．2．三角函数在各个象限的符号83．三角函数的定义域三角函数定义域sinα，cosαRtanα，s

3、ecα{α

4、α≠kπ＋，k∈Z}cotα，cscα{α

5、α≠kπ，k∈Z}要点一　三角函数定义的应用例1　已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sinα＋的值．解　由题意知，cosα≠0.设角α的终边上任一点为P(k，－3k)(k≠0)，则x＝k，y＝－3k，r＝＝

6、k

7、.(1)当k>0时，r＝k，α是第四象限角，sinα＝＝＝－，＝＝＝，∴10sinα＋＝10×＋3＝－3＋3＝0.(2)当k<0时，r＝－k，α为第二象限角，sinα＝＝＝，＝＝－＝－，∴10sinα＋＝10×＋3×(－)＝3－38＝0.综上所述，10sinα＋＝0.规律方法　在解决有关角的终边在直线上的问题

8、时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点坐标(a，b)，则对应角的正弦值为sinα＝，cosα＝，tanα＝.跟踪演练1　已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－，则y＝________.答案　－8解析　因为sinθ＝＝－，所以y<0，且y2＝64，所以y＝－8.要点二　三角函数值符号的判断例2　判断下列三角函数值的符号：(1)sin3，cos4，tan5；(2)sin(cosθ)(θ为第二象限角)．解　(1)∵<3<π<4<<5<2π，∴3,4,5分别在第二、三、四象限，∴sin3>0，c

9、os4<0，tan5<0.(2)∵θ是第二象限角，∴－<－10)，可知角的三角函数值的符号是由角终边上任一点P(x，y)的坐标确定的，则准确确定角的终边位置是判断该角的三角函数值符号的关键．跟踪演练2　已知cosθ·tanθ<0，那角θ是(　　)A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角D．第一或第四象限角答案　C解析　∵cosθ·tanθ<0，∴或由得角θ为第三象限角．8由得角θ为第四象限角．∴角θ为第三或第四象限角．要点三　三角函数的定义域例3　求

10、下列函数的定义域：(1)y＝；(2)y＝＋.解　(1)要使函数有意义，须tanx≠0，所以x≠kπ＋，k∈Z且x≠kπ，k∈Z，所以x≠，k∈Z.于是函数的定义域是.(2)要使函数有意义，须得解之得2kπ＋≤x≤2kπ＋π，k∈Z.所以函数的定义域是.规律方法　求函数定义域使式子有意义的情况一般有以下几种：①分母不为零，②偶次根号下大于等于零，③在真数位置时大于零，④在底数位置时大于零且不等于1.跟踪演练3　求函数y＝tanx＋的定义域．解　由得因而x的终边不在坐标轴上，所以函数的定义域为.1．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cosα等于(　　)A.B.C．－D．－答案　D

11、解析　因为角α的终边经过点(－4,3)，所以x＝－4，y＝3，r＝5，所以cosα＝＝－.82．如果角α的终边过点P(2sin30°，－2cos30°)，则cosα的值等于(　　)A.B．－C．－D.答案　A解析　2sin30°＝1，－2cos30°＝－，∴r＝2，∴cosα＝.3．若点P(3，y)是角α终边上的一点，且满足y<0，cosα＝，则tanα＝(　　)A．－B.C.D．－答案　D解析　∵cosα＝＝，∴＝5，∴y2＝16，∵y<0，∴y＝－4，∴tanα＝－.4．如果sinx＝

12、