高中数学第三章三角函数3.2任意角的三角函数3.2.2同角三角函数之间的关系学案湘教版

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1、3.2.2同角三角函数之间的关系[学习目标]1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明．[知识链接]1．任意角的正弦、余弦、正切函数分别是如何定义的？答在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．锐角α的终边与单位圆交于P(x，y)点，则有sinα＝y，cosα＝x，tanα＝.2．如何利用任意角的三角函数的定义推导同角三角函数的基本关系式？答设点P(x，y)为α终边上任意一点，P与O不重合．P到原点的距离为r＝>0，则sinα＝

2、，cosα＝，tanα＝.于是sin2α＋cos2α＝2＋2＝＝1，＝＝＝tanα.即sin2α＋cos2α＝1，tanα＝.[预习导引]1．任意角三角函数的定义如图所示，以任意角α的顶点O为坐标原点，以角α的始边的方向作为x轴的正方向，建立直角坐标系．设P(x，y)是任意角α终边上不同于坐标原点的任意一点．其中，r＝OP＝>0.则sinα＝，cosα＝，tanα＝.2．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：tanα＝(α≠kπ＋，k∈Z)．3．同角三角函数基本关系式的变形11(1)sin2α＋cos2α＝1的变

3、形公式：sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α；(2)tanα＝的变形公式：sinα＝cosαtanα；cosα＝.要点一利用同角三角函数的基本关系式求值例1已知cosα＝－，求sinα，tanα的值．解∵cosα＝－<0，∴α是第二或第三象限的角，如果α是第二象限角，那么sinα＝＝＝，tanα＝＝＝－.如果α是第三象限角，同理可得sinα＝－＝－，tanα＝.规律方法已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系．另外也要注意“1”的代换，如“1＝sin2α＋cos2α”．本

4、题没有指出α是第几象限的角，则必须由cosα的值推断出α所在的象限，再分类求解．跟踪演练1已知tanα＝，且α是第三象限角，求sinα，cosα的值．解由tanα＝＝，得sinα＝cosα①又sin2α＋cos2α＝1②由①②得cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝.又α是第三象限角，∴cosα＝－，sinα＝cosα＝－.11要点二三角函数代数式的化简例2化简下列各式：(1)；(2)；(3)＋，其中sinα·tanα<0.解(1)＝＝cos40°＝cos40°.(2)＝＝＝＝－1.(3)由于sinα·tanα<0，则sinα，tanα异号，∴α是第二、

5、三象限角，∴cosα<0，∴＋＝＋＝＋＝＝－.规律方法解答这类题目的关键在于公式的灵活运用，切实分析好同角三角函数间的关系，化简过程中常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正弦、余弦的函数都化为正弦、余弦函数．从而减少函数名称，达到化简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．(4)关于sinα，cosα的齐次式的求值方法①sinα，cosα的齐次式就是式子中的每一项都是关于sinα，cosα的式子且它

6、们的次数之和相同，设为n次，将分子，分母同时除以cosα的n次幂，其式子可化为关于tanα的式子，如可化为，再代入求值．②若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tanα的式子，如3sin2α－2cos2α可写成，进一步化为，再代入求值．跟踪演练2已知tanα＝3，则11(1)＝；(2)sin2α－3sinαcosα＋1＝.答案(1)1(2)1解析(1)＝＝＝1；(2)sin2α－3sinαcosα＋1＝＝＝＝＝1.要点三三角函数恒等式的证明例3求证：＝.证明∵右边＝＝＝＝＝＝左边，∴原等式成立

7、．规律方法(1)证明三角恒等式的实质：清除等式两端的差异，有目的的化简．(2)证明三角恒等式的基本原则：由繁到简．(3)常用方法：左⇒右；右⇒左；左⇒中⇐右．跟踪演练3已知2cos4θ＋5cos2θ－7＝asin4θ＋bsin2θ＋c是恒等式．求a、b、c的值．解2cos4θ＋5cos2θ－7＝2(1－sin2θ)2＋5(1－sin2θ)－7＝2－4sin2θ＋2sin4θ＋5－5sin2θ－7＝2sin4θ－9sin2θ，故a＝2，b＝－9，c＝0.1．已知α是第二象限角，sinα＝，则cosα等于()11A．－B．－C.D.答案A解析利用同角三角函数基本

8、关系式中的平方关系计算．因为α为第二象限角，所以co