高中数学第三章三角函数3.1弧度制与任意角3.1.2弧度制学案湘教版

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1、3.1.2　弧度制[学习目标]　1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．[知识链接]1．初中几何研究过角的度量，当时是用度来做单位度量角的．那么1°的角是如何定义的？它的大小与它所在圆的大小是否有关？答　规定周角的做为1°的角；它的大小与它所在圆的大小无关．2．用度做单位来度量角的制度叫做角度制，在初中有了它就可以计算扇形弧长和面积，其公式是什么？答　l＝，S＝.[预习导引]1．弧度制(1)定义：单位圆上长度为1的圆弧所

2、对的圆心角取为度量的单位，称为弧度，这样的单位制称为弧度制．(2)任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是一个正数；负角的弧度数是一个负数；零角的弧度数是零．(3)角的弧度数的计算如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是

3、α

4、＝.2．角度制与弧度制的换算(1)角度化弧度弧度化角度360°＝2π2π＝360°180°＝ππ＝180°1°＝≈0.017451＝°≈57.30°(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系度0°1°30°45°60°90°9120°135°150°180°270°360°弧0π2π3.扇形的弧长

5、及面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则度量单位类别α为角度制α为弧度制扇形的弧长l＝l＝α·R扇形的面积S＝S＝l·R＝α·R2要点一　角度制与弧度制的换算例1　将下列角度与弧度进行互化．(1)20°；(2)－15°；(3)；(4)－.解　(1)20°＝20×＝.(2)－15°＝－15×＝－.(3)＝×°＝105°.(4)－＝－×°＝－396°.规律方法　(1)进行角度与弧度换算时，要抓住关系：π＝180°.(2)熟记特殊角的度数与弧度数的对应值．跟踪演练1　(1)把112°30′化成弧度；(2)把－化成度．解　(1)

6、112°30′＝°＝×＝.(2)－＝－×°＝－75°.要点二　用弧度制表示终边相同的角例2　把下列各角化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式，并指出是第几象限角：9(1)－1500°；　(2)；　(3)－4.解　(1)∵－1500°＝－1800°＋300°＝－5×360°＋300°.∴－1500°可化成－10π＋，是第四象限角．(2)∵＝2π＋，∴与终边相同，是第四象限角．(3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，＜2π－4＜π.∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角．规律方法　用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，

7、而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．跟踪演练2　设α1＝－570°，α2＝750°，β1＝，β2＝－.(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°范围内找出与它们终边相同的所有角．解　(1)∵180°＝π，∴α1＝－570°＝－＝－＝－2×2π＋，α2＝750°＝＝＝2×2π＋.∴α1的终边在第二象限，α2的终边在第一象限．(2)β1＝＝×180°＝108°，设θ＝108°＋k·360°(k∈Z)，则由－720°≤θ<0°，即－720°≤108°＋k·360°<

8、0°，得k＝－2，或k＝－1.故在－720°～0°范围内，与β1终边相同的角是－612°和－252°.β2＝－＝－60°，9设γ＝－60°＋k·360°(k∈Z)，则由－720°≤－60°＋k·360°<0°，得k＝－1，或k＝0.故在－720°～0°范围内，与β2终边相同的角是－420°和－60°.要点三　扇形的弧长及面积公式的应用例3　已知一个扇形的周长为a，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求这个最大值．解　设扇形的弧长为l，半径为r，圆心角为α，面积为S.由已知，2r＋l＝a，即l＝a－2r.∴S＝l·r＝(a－2r)·r＝－r2＋r

9、＝－2＋.∵r>0，l＝a－2r>0，∴0

10、α

11、r2，二是l＝

12、α

13、r，如果已知其中两个，就可以求出另一个．(2)当扇形周长一定时，其面积有最大值，最大值的求法是把面积S转化为r的函数．跟踪演练3　一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数．解　设扇形的半径为R，弧长为l，则2R＋l＝4，∴l＝4－2R，根据扇形面积公式S＝lR，得1＝(4－2R)·R，∴R＝1，∴l＝2，

14、∴α＝＝＝2，即扇形的圆心角为2.1．时针经过一小时，时针转过了(　　)9A.B．－C.D．－答案　B解析