高中数学第三章三角函数3.2任意角的三角函数3.2.1任意角三角函数的定义（二）学案湘教版

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1、3.2.1　任意角三角函数的定义(二)[学习目标]　1.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.2.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题．[知识链接]什么叫做单位圆？答　以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆(注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米)．[预习导引]1．三角函数的定义域正弦函数y＝sinx的定义域是R；余弦函数y＝cosx的定义域是R；正切函数y＝tanx的定义域是{x

2、x∈R，且x≠kπ＋，k∈Z}．2．三角函数线如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于P点．过点P作x轴的垂线PM

3、，垂足为M，过A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于T点．单位圆中的有向线段MP、OM、AT分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．记作：sinα＝MP，cosα＝OM，tanα＝AT.9要点一　利用三角函数线比较大小例1　分别作出和的正弦线、余弦线和正切线，并比较sin和sin，cos和cos，tan和tan的大小．解　如图，sin＝MP，cos＝OM，tan＝AT，sin＝M′P′，cos＝OM′，tan＝AT′.显然

4、MP

5、>

6、M′P′

7、，符号皆正，∴sin>sin；

8、OM

9、<

10、OM′

11、，符号皆负，∴cos>cos；

12、AT

13、>

14、AT′

15、，符号皆负，∴tan

16、0，sinπ>0.∵

17、MP

18、<

19、AT

20、，∴sinπ

21、满足条件的角θ的范围，即.(2)图②中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，即.规律方法　用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式，应注意以下两点：(1)先找到“正值”区间，即0～2π间满足条件的角θ的范围，然后再加上2kπ(k∈Z)；(2)注意区间是开区间还是闭区间．跟踪演练2　已知点P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，若α∈[0,2π)，求α的取值范围．解　∵点P在第一象限内，∴∴结合单位圆(如图所示)中三角函数线及0≤α<2π.可知<α<或π<α<.要点三　利用三角函数线求函数的定义域例3　求函数f(x)＝＋ln的定义域．解　由题意，自变量x应满足不等式组

22、　即则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，∴.规律方法　求三角函数定义域时，一般应转化为求不等式(组)的解的问题．利用数轴或三角函数线是解三角不等式常用的方法．解多个三角不等式时，先在单位圆中作出使每个不等式成立的角的范围，再取公共部分．跟踪演练3　求函数f(x)＝lg(3－4sin2x)的定义域．解　∵3－4sin2x>0，∴sin2x<，9∴－

23、确的是(　　)A．正弦线PM，正切线A′T′B．正弦线MP，正切线A′T′C．正弦线MP，正切线ATD．正弦线PM，正切线AT答案　C3．在[0,2π]上，满足sinx≥的x的取值范围为(　　)A.B.C.D.答案　B4．利用三角函数线比较下列各组数的大小(用“>”或“<”连接)：(1)sinπ________sinπ；(2)cosπ________cosπ；(3)tanπ________tanπ.答案　(1)>　(2)>　(3)<91.三角函数线的意义三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示

24、三角函数值的正负．具体地说，正弦线、正切线的方向同纵坐标轴平行，向上为正，向下为负；余弦线的方向同横坐标轴平行，向右为正，向左为负．三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来了，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方便．2．三角函数线的画法定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出了角α的三角函数线的画法即先找到P、M、T点，再画出MP、OM、AT.注意三角函数线是有向线段，要分清始点和终点，字母的书写顺序不能颠倒．3．三角函数线是三角函数的几何表示，它直观地刻画了三角函数的概念．与三角函数的定义结合起来，可以从数与形