高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积2课后习题新人教a版必修4

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1、2.4.2　平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课后篇巩固探究A组　基础巩固1.向量a=(-1,2),b=(1,3),下列结论正确的是(　　)A.a∥bB.a⊥bC.a∥(a-b)D.a⊥(a-b)解析由a-b=(-2,-1),易得a·(a-b)=0,故a⊥(a-b),选D.答案D2.若a=(3,4),则与a共线的单位向量是(　　)A.(3,4)B.C.D.(1,1)解析与a共线的单位向量是±=±(3,4),即与a共线的单位向量是.答案C3.若平面向量a=(3,x),b=(1,2),向量a在b方向上的射影等于,则x的值等于(　　)A.B.6C.1D.-

2、27解析依题意有,解得x=1.答案C4.在平行四边形ABCD中,=(1,0),=(2,2),则等于(　　)A.4B.-4C.2D.-2解析如图,由向量的加减,可得=(1,2),-2=(0,2).故=(1,2)·(0,2)=0+4=4.答案A5.导学号68254087在矩形ABCD中,AB=2,AD=2,点E为线段BC的中点,点F为线段CD上的动点,则的取值范围是(　　)A.[2,14]B.[0,12]C.[0,6]D.[2,8]解析如图,A(0,0),E(2,1),设F(x,2)(0≤x≤2),所以=(2,1),=(x,2),因此=2x+2,设f(x

3、)=2x+2(0≤x≤2),f(x)为增函数,则f(0)=2,f(2)=14,故2≤f(x)≤14,的取值范围是[2,14].答案A6.设x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,则

4、a+b

5、=(　　)A.B.C.2D.107解析∵向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,则有2x-4=0,-4-2y=0,解得x=2,y=-2,故a+b=(3,-1),故有

6、a+b

7、=,故选B.答案B7.已知a=(-1,3),b=(1,y).若a与b的夹角为45°,则y=　　　　. 解析a·b=-

8、1+3y,

9、a

10、=,

11、b

12、=,∵a与b的夹角为45°,∴cos45°=.解得y=2或y=-(舍去).答案28.已知单位向量a与向量b=(1,-1)的夹角为45°,则

13、a-b

14、=　　　　　. 解析由已知得

15、a

16、=1,

17、b

18、=,a·b=

19、a

20、

21、b

22、cos45°=1,于是

23、a-b

24、==1.答案19.已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x)(x∈R).(1)若a∥b,求

25、a-b

26、;(2)若a与b的夹角为锐角,求x的取值范围.解(1)因为a∥b,所以-x-x(2x+3)=0,解得x=0或x=-2.当x=0时,a=(1,0),b=(3,0),所以a-b

27、=(-2,0),则

28、a-b

29、=2.当x=-2时,a=(1,-2),b=(-1,2),所以a-b=(2,-4),则

30、a-b

31、=2.综上,

32、a-b

33、=2或2.(2)因为a与b的夹角为锐角,所以a·b>0,即2x+3-x2>0,解得-1

34、m

35、取最小值时实数t的值;(2)若a⊥b,问:是否存在实数t,使得向量a-b与向量m的夹角为?若存在,求出实数t;若不存在,请说明理由.解(1)当α

36、=时,b=,a·b=,∴

37、m

38、=,∴当t=-时,

39、m

40、取得最小值.(2)假设存在满足条件的实数t.由条件得cos,∵a⊥b,∴

41、a-b

42、=,

43、a+tb

44、=,(a-b)·(a+tb)=5-t,∴.∴t2+5t-5=0,且t<5,得t=.∴存在t=满足条件.11.已知A(1,2),B(4,0),C(8,6),D(5,8),判断由此四点构成的四边形的形状.解因为=(4,0)-(1,2)=(3,-2),=(8,6)-(5,8)=(3,-2),所以,所以四边形ABCD是平行四边形.因为=(5,8)-(1,2)=(4,6),所以=3×4+(-2)×6=0,所以,

45、所以四边形ABCD是矩形.因为

46、

47、=,

48、

49、=2,

50、

51、≠

52、

53、,所以四边形ABCD不是正方形.7综上,四边形ABCD是矩形.B组　能力提升1.已知O为坐标原点,向量=(3sinα,cosα),=(2sinα,5sinα-4cosα),α∈,且,则tanα的值为(　　)A.-B.-C.D.解析由题意知6sin2α+cosα·(5sinα-4cosα)=0,即6sin2α+5sinαcosα-4cos2α=0,等式两边同时除以cos2α,得6tan2α+5tanα-4=0,由于α∈,所以tanα<0,解得tanα=-,故选A.答案A2.已知在直角梯形ABCD

54、中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC=2,AD=1,梯形所在平面内一点P满足=2,则=(　　)A.-