北大群伦电子版grouptheory

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1、第四章转动群■连续群(continuous):群元可由一组独立实参量描述,其中至少有一个参量在一定区域是连续变化的.设连续参量的数目为r(1≤r≤n),记为r称为该连续群的阶.r个独立实参量的变化区域称为群参数空间4.1一些基本概念连续群G的群元g,可由r个连续实参量表征,即单位元素可用一组零参量来表征,即设一个集合G的元素g可由r个实参量来表征,即如果g()满足下列条件:1)集合G中存在一个单位元素e=g(0),对任意元素g()G,有李群2)逆元:对任意,存在,使通常取0={0,0,…,0}即对于任意元素g()

2、G,存在逆元素3)封闭性:对于任意两个元素g(),g()G,其乘积仍属于G.即在参数空间中能够找到一个参数,使4)结合律:对任意,,,有是,的实函数,即则连续群G称为李群.或5)=f(,)是,的解析函数(连续可微),是的解析函数.称为李群的结合函数.■连通性:如果从连续群的任意一个元素出发,经过r个参量的连续变化,可以到达单位元素,或者说如果连续群中的任意两个元素可以通过r个参量的连续变化连结起来,则称此连续群是连通的.这样的李群称为简单李群,否则称为混合李群.■紧致李群:如果李群的参数空间由有限

3、个有界的区域组成,则称该李群为紧致李群,否则称为非紧致李群.1)所有实数以数的加法为群的乘法构成一个一阶李群.群参数为群元本身.结合函数为=+.一阶非紧致简单李群■例:2)空间平移群:三维实空间中的所有平移变换构成一个李群,群元由三个独立的实参量表征.三阶非紧致简单李群.3)二维特殊酉群SU(2):所有行列式为+1的二维酉矩阵构成的群.即SU(2)是一个三阶紧致简单李群其中,,为实参量.满足条件SU(2)的群元可写为或写为4)三维实正交群O(3):所有三维实正交矩阵构成的连续群.群元由3个实参数标记.群元满足正交条件

4、三维实特殊正交群SO(3):所有行列式为+1的3维实正交矩阵构成的连续群,群元由3个实参数标记.O(3)保持实二次形不变SO(3)群对应于三维实空间保持原点不变的三维转动群,群元为转动矩阵,由三个实参量0,0,0<2来表征.三阶紧致简单李群.三维实正交群O(3)=SO(3){E,I}.由行列式分别为1的互不连通的两叶构成,其参数空间包含两个互不连通的区域,是三阶紧致混合李群.■空间转动群:三维实坐标空间R3保持原点不变的所有转动变换构成的群,对应于特殊实正交矩阵群SO(3).1)SO(3)群的群元可用绕

5、过原点方位角为(,)的转动轴k的转过角的转动变换Ck()表示.在笛卡尔坐标系中,绕三个坐标轴x,y,z的转动元素分别为SO(3)群的参数化:4.2转动群SO(3)与二维特殊酉群SU(2)2)SO(3)群的群元也可用三个欧拉角,,来标记.SO(3)转动元素由相继三个转动变换生成:(1)绕z轴转角,0<2;(2)绕新的y轴(y’轴)转角,0;(3)绕新的z轴(z’’轴)转角,0<2.即■二维特殊酉群SU(2):所有行列式为+1的二维酉矩阵构成的群.三阶紧致简单李群,群元由三个实参数表示或■SU

6、(2)群与SO(3)群的关系:对于SU(2)中的任意一个元素uSU(2),可定义一个三维实坐标空间中一个变换Ru如下:为泡利矩阵.是三个独立二阶零迹厄米矩阵.定义:则Ru满足1)Ru是三维实坐标空间中实正交变换,即2)det(Ru)是a,b的连续函数,det(Ru)=1.则SU(2)中任意一个元素都对应于SO(3)中一个元素Ru3)上述映射关系保持乘法规律不变4)上述映射关系是SU(2)到SO(3)的同态映射,即对于SO(3)中任何一个元素,都能在SU(2)中找到一个元素与之对应.SO(3)中一个元素R(,,),都能在S

7、U(2)中找到一个元素与之对应,存在SU(2)群到SO(3)群的同态.5)同态核由组成,对应SO(3)中单位元素.SU(2)群到SO(3)群的同态映射是二对一的同态,SU(2)中两个元素u,-u对应于SO(3)中同一元素.4.3SU(2)群的不可约表示SU(2)群元是二维复向量空间上的酉变换有序复数(,)是二维复向量空间中任意向量.考虑和的2j次齐次函数构成的2j+1维函数空间以j为基底生成一个2j+1维的线性复函数空间在SU(2)群元作用下,(,)变为(’,’).构造一个映射,将利用二项式定理变为根据负整数

8、的阶乘为无穷,并进行变量代换=j-k-k’得到SU(2)群元u的表示矩阵Aj保持SU(2)的乘法规律不变表示Aj是SU(2)的酉表示:如果对角矩阵A对角元素各不相同,则与之对易的矩阵必是对角矩阵.表示Aj是SU(2)的不可约表示:2)如果对角矩阵A矩阵B对易,