4.1.1 圆的标准方程

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1、4.1圆的方程4.1.1圆的标准方程第四章圆与方程一石激起千层浪奥运五环福建土楼乐在其中小憩片刻生活掠影1.圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆.你看看我是怎么形成的!2.圆上点组成的集合:P={M（x,y)

2、

3、MC

4、=r}M（x,y)是圆上动点，C是圆心，r是半径.·rCM1.思考在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？分析：因此，确定一个圆的基本要素是圆心和半径.显然，当圆心与半径大小确定后，圆就唯一确定了.如图，在直角坐标系中，圆心C的位置用坐标(a,b)表示，半径r的大小等于圆上任意点

5、M(x,y)与圆心C(a,b)的距离．xCMrOy

6、MC

7、=r则圆上所有点的集合P={M

8、

9、MC

10、=r}把上式两边平方得：由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为：注意：1.圆的标准方程2.若圆心为O（0，0），则圆的方程为：解:所求的圆的标准方程是把点例1写出圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的方程,并判断点,是否在这个圆上.的坐标代入方程左右两边相等，点M1的坐标适合圆的方程，所以点在这个圆上.AxyOM2M1把点的坐标代入方程左右两边不相等，点的坐标不适合方程所以点不在这个圆上.AxyoM1M3

11、M2如果设点M到圆心的距离为d,则可以看到：点在圆内dr；点在圆上d=r；点与圆的位置关系1.若点(１，１)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部，则实数a的取值范围是()(A)-1＜a＜1(B)0＜a＜1(C)a＞1或a＜-1(D)a=±1【解析】选A.∵点(１，１)在圆内，∴(1-a)2+(1+a)2＜4,即-1＜a＜1.答案：2.指出下列方程表示的圆心坐标和半径：(1)x2+(y-2)2=9(2)(x+1)2+(y+2)2=83.写出下列各圆的方程：(1)圆心在点C(3,4)，半径

12、是(2)经过点P(5,1),圆心是点C(8,-3)答案：例2的三个顶点的坐标分别是A(5,1),B(7,－3)，C(2,－8)，求它的外接圆的方程．解：设所求圆的方程为：因为A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)都在圆上，所以它们的坐标都满足方程，于是所求圆的方程为已知△AOB的顶点坐标分别为A（4,0），B（0,3），O（0,0），求△AOB外接圆的方程.解：设所求圆的方程为：因为A(4,0),B(0,3),O(0,0)都在圆上，所以它们的坐标都满足方程，于是所求圆的方程为例3.已知圆心为C的圆经过

13、点A(1,1)和B(2,-2)，且圆心C在直线l：x-y+1=0上，求圆心为C的圆的标准方程.xyOCA(1,1)B(2,-2)解：因为A(1,1)和B(2,－2)，所以线段AB的中点D的坐标直线AB的斜率:因此线段AB的垂直平分线l′的方程是即x-3y-3=0xyOCA(1,1)B(2,-2)Dl¢解方程组得所以圆心C的坐标是圆心为C的圆的半径长所以，圆心为C的圆的标准方程是比较例2和例3，你能归纳求任意△ABC外接圆的方程的两种方法吗？两种方法：待定系数法；数形结合法.(2012·青岛模拟)已知圆M过两

14、点A(1,-1),B(-1,1)且圆心M在x+y-2=0上，求圆M的方程.【解析】设圆M的方程为：(x-a)2+(y-b)2=r2(r＞0),根据题意得：解得：a=b=1,r=2,故所求圆M的方程为：(x-1)2+(y-1)2=4.(x-3)2+(y+4)2=252.已知直线x-y+b=0与圆x2+y2=8相切，则b=.4或-43.求以点A(1,5)和B（3，-1）为直径两端点的圆的方程.1.以（3，-4）为圆心，且过点（0，0）的圆的方程是.(x-2)2+(y-2)2=104.如图已知隧道的截面是半径为4

15、米的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7米，高为3米的货车能不能驶入这个隧道？解：以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系（如右图）那么半圆的方程为将x=2.7代入,得＜3。即在离中心线2.7米处，隧道的高度低于货车的高度.因此，货车不能驶入这个隧道.xy02.71.圆心为C(a,b)，半径为r的圆的标准方程为当圆心在原点时a=b=0，圆的标准方程为：2.由于圆的标准方程中含有a,b,r三个参数，因此必须具备三个独立的条件才能确定圆；对于由已知条件容易求得

16、圆心坐标和圆的半径或需利用圆心坐标列方程的问题一般采用圆的标准方程。3.注意圆的平面几何知识的运用以及应用圆的方程解决实际问题。