微分方程数值解实验报告

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1、微分方程数值解法课程设计报告班级：_______姓名：___学号：__________成绩：2017年6月21日摘要自然界与工程技术中的很多现象，可以归结为微分方程定解问题。其中，常微分方程求解是微分方程的重要基础内容。但是，对于许多的微分方程，往往很难得到甚至不存在精确的解析表达式，这时候，数值解提供了一个很好的解决思路。，针对于此，本文对常微分方程数值解法进行了简单研究，主要讨论了一些常用的数值解法，如欧拉法、改进的欧拉法、Runge—Kutta方法、Adams法以及椭圆型方程、抛物型方程的有限差分方法等，通过具体

2、的算例，结合MATLAB求解画图，初步给出了一般常微分方程数值解法的求解过程。同时，通过对各种方法的误差分析，让大家对各种方法的特点和适用范围有一个直观的感受。关键词：微分方程数值解、MATLAB目录摘要2目录3第一章常微分方程数值解法的基本思想与原理41.1常微分方程数值解法的基本思路41.2用matlab编写源程序41.3常微分方程数值解法应用举例及结果5第二章常系数扩散方程的经典差分格式的基本思想与原理62.1常系数扩散方程的经典差分格式的基本思路62.2用matlab编写源程序72.3常系数扩散方程的经典差分格

3、式的应用举例及结果8第三章椭圆型方程的五点差分格式的基本思想与原理103.1椭圆型方程的五点差分格式的基本思路103.2用matlab编写源程序103.3椭圆型方程的五点差分格式的应用举例及结果12第四章总结12参考文献12第一章常微分方程数值解法的基本思想与原理1.1常微分方程数值解法的基本思路常微分方程数值解法(numericalmethodsforordinarydifferentialequations)计算数学的一个分支.是解常微分方程各类定解问题的数值方法.现有的解析方法只能用于求解一些特殊类型的定解问题，

4、实用上许多很有价值的常微分方程的解不能用初等函数来表示，常常需要求其数值解.所谓数值解，是指在求解区间内一系列离散点处给出真解的近似值.这就促成了数值方法的产生与发展.1.2用matlab编写源程序龙格库塔法：M文件:functiondx=Lorenz(t,x)%r=28,sigma=10,b=8/3dx=[-10*(x(1)-x(2));-x(1)*x(3)+28*x(1)-x(2);x(1)*x(2)-8*x(3)/3];运行程序：x0=[1,1,1];[t,y]=ode45('Lorenz',[0,100],x0

5、);subplot(2,1,1)%两行一列的图第一个plot(t,y(:,3))xlabel('time');ylabel('z');%画z-t图像subplot(2,2,3) %两行两列的图第三个plot(y(:,1),y(:,2))xlabel('x');ylabel('y');%画x-y图像subplot(2,2,4)plot3(y(:,1),y(:,2),y(:,3)) xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');%画xyz图像欧拉法：h=0.010;a=16;b=4;c=49.52

6、;x=5;y=10;z=10;Y=[];fori=1:800x1=x+h*a*(y-x);y1=y+h*(c*x-x*z-y);z1=z+h*(x*y-b*z);x=x1;y=y1;z=z1;Y(i,:)=[xyz];endplot3(Y(:,1),Y(:,2),Y(:,3));1.3常微分方程数值解法的应用举例及结果应用举例：a=10,b=8/3,024.74时，c和都

7、变成不稳定的，此时存在混沌和奇怪吸引子。运行结果：龙格库塔法：欧拉法：第二章常系数扩散方程的经典差分格式的基本思想与原理2.1常系数扩散方程的经典差分格式的基本思路用有限差分法解常系数扩散方程有加权隐式差分格式其中，当时为Crank-Nicolson格式，当时为向后差分格式，当时为向前差分格式。加权隐式格式稳定的条件是，当，无限制，当。加权隐式格式是两层隐式格式，用第n层计算第n+1层节点值的时候，要解线性方程组。2.2用matlab编写源程序M文件：functionM=chase(a,b,c,f)%追赶法求解三对角矩

8、阵方程，Ax=f%a是对角线下边一行的元素%b是对角线元素%c是对角线上边一行的元素%M是求得的结果，以列向量形式保存n=length(b);beta=ones(1,n-1);y=ones(1,n);M=ones(n,1);fori=(n-1):(-1):1a(i+1)=a(i);end%将a矩阵和n对应beta(1)=c(1)/